Номер 225, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 225, страница 91.

Докажите тождество (№ 223–225);

225 а) $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2ab}{a^2 - b^2}$;

б) $(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{xy}) \cdot \frac{xy^2}{x + y} = 1 + \frac{y}{x}$;

в) $\frac{x + y}{x^2 - 2xy + y^2} - \frac{1}{2x - 2y} = \frac{x + 3y}{2(x - y)^2}$;

г) $\frac{1}{ab - b^2} - \frac{1}{a^2 + ab} - \frac{2}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{ab(a + b)}$.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:

$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$

Полученное выражение равно правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$.

б)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{xy} = \frac{y^2}{x^2y^2} + \frac{x^2}{x^2y^2} + \frac{2xy}{x^2y^2} = \frac{y^2+x^2+2xy}{x^2y^2}$

Числитель является полным квадратом суммы: $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(x+y)^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{(x+y)^{\cancel{2}}}{\cancel{x^2}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}y^{\cancel{2}}}{\cancel{x+y}} = \frac{x+y}{x}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: $(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{xy}) \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{y^2+x^2+2xy}{x^2y^2} \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{(x+y)^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$.

в)

Преобразуем левую часть тождества. Разложим знаменатели на множители:

$x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$

$2x-2y = 2(x-y)$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(x-y)^2$:

$\frac{x+y}{(x-y)^2} - \frac{1}{2(x-y)} = \frac{2(x+y)}{2(x-y)^2} - \frac{1 \cdot (x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2(x+y) - (x-y)}{2(x-y)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2x+2y-x+y}{2(x-y)^2} = \frac{(2x-x) + (2y+y)}{2(x-y)^2} = \frac{x+3y}{2(x-y)^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{x+y}{x^2-2xy+y^2} - \frac{1}{2x-2y} = \frac{x+y}{(x-y)^2} - \frac{1}{2(x-y)} = \frac{2(x+y)-(x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2x+2y-x+y}{2(x-y)^2} = \frac{x+3y}{2(x-y)^2}$.

г)

Преобразуем левую часть. Разложим знаменатели на множители:

$ab-b^2 = b(a-b)$

$a^2+ab = a(a+b)$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

Общий знаменатель для этих дробей: $ab(a-b)(a+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{b(a-b)} - \frac{1}{a(a+b)} - \frac{2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a+b)}{ab(a-b)(a+b)} - \frac{b(a-b)}{ab(a-b)(a+b)} - \frac{2ab}{ab(a-b)(a+b)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{a(a+b) - b(a-b) - 2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - (ab-b^2) - 2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-ab+b^2-2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a-b)(a+b)}$

Числитель является полным квадратом разности: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

$\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{ab(a+b)}$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{ab-b^2} - \frac{1}{a^2+ab} - \frac{2}{a^2-b^2} = \frac{a(a+b) - b(a-b) - 2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{ab(a+b)}$.