Номер 218, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 218, страница 90.

218 Свойства действий и правила преобразований на алгебраическом языке записывают в виде тождеств. Пользуясь тождествами $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ и $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$, представьте данную дробь в виде суммы или в виде разности дробей:

а) $\frac{a^2 + 3ac}{a^3}$;

б) $\frac{12a - c^2}{6ac}$;

в) $\frac{a^2 + b^2}{2ab}$;

г) $\frac{a^2 - c^2}{ac}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся тождествами, которые позволяют представить дробь с суммой или разностью в числителе в виде суммы или разности дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ и $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$.

а) Представим дробь $\frac{a^2 + 3ac}{a^3}$ в виде суммы дробей. Для этого разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{a^2 + 3ac}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} + \frac{3ac}{a^3}$

Теперь сократим каждую из полученных дробей, используя свойства степеней ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

$\frac{3ac}{a^3} = \frac{3c}{a^{3-1}} = \frac{3c}{a^2}$

Таким образом, исходная дробь равна сумме:

$\frac{1}{a} + \frac{3c}{a^2}$

Ответ: $\frac{1}{a} + \frac{3c}{a^2}$

б) Представим дробь $\frac{12a - c^2}{6ac}$ в виде разности дробей. Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{12a - c^2}{6ac} = \frac{12a}{6ac} - \frac{c^2}{6ac}$

Сократим каждую из полученных дробей:

$\frac{12a}{6ac} = \frac{2 \cdot 6 \cdot a}{6 \cdot a \cdot c} = \frac{2}{c}$

$\frac{c^2}{6ac} = \frac{c \cdot c}{6 \cdot a \cdot c} = \frac{c}{6a}$

В результате получаем разность:

$\frac{2}{c} - \frac{c}{6a}$

Ответ: $\frac{2}{c} - \frac{c}{6a}$

в) Представим дробь $\frac{a^2 + b^2}{2ab}$ в виде суммы дробей. Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{a^2 + b^2}{2ab} = \frac{a^2}{2ab} + \frac{b^2}{2ab}$

Сократим каждую из полученных дробей:

$\frac{a^2}{2ab} = \frac{a \cdot a}{2 \cdot a \cdot b} = \frac{a}{2b}$

$\frac{b^2}{2ab} = \frac{b \cdot b}{2 \cdot a \cdot b} = \frac{b}{2a}$

Получаем сумму:

$\frac{a}{2b} + \frac{b}{2a}$

Ответ: $\frac{a}{2b} + \frac{b}{2a}$

г) Представим дробь $\frac{a^2 - c^2}{ac}$ в виде разности дробей. Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{a^2 - c^2}{ac} = \frac{a^2}{ac} - \frac{c^2}{ac}$

Сократим каждую из полученных дробей:

$\frac{a^2}{ac} = \frac{a \cdot a}{a \cdot c} = \frac{a}{c}$

$\frac{c^2}{ac} = \frac{c \cdot c}{a \cdot c} = \frac{c}{a}$

В результате получаем разность:

$\frac{a}{c} - \frac{c}{a}$

Ответ: $\frac{a}{c} - \frac{c}{a}$