Номер 211, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 211, страница 87.

211 Преобразуйте в дробь выражение:

a) $ (\frac{c}{a - c} + \frac{a + c}{c}) : \frac{a}{a^2 - c^2}; $

б) $ \frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{ab}{a + b} - \frac{b}{a^2 - b^2}; $

в) $ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot (\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b}); $

г) $ (\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2) : (x + 2y + \frac{y^2}{x}); $

д) $ (y - \frac{y^2}{y + 1}) : (y - \frac{y}{y + 1}); $

е) $ (\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) : (\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}). $

а) Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $c(a-c)$:
$(\frac{c}{a-c} + \frac{a+c}{c}) = \frac{c \cdot c}{(a-c)c} + \frac{(a+c)(a-c)}{c(a-c)} = \frac{c^2 + a^2 - c^2}{c(a-c)} = \frac{a^2}{c(a-c)}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Также разложим знаменатель $a^2 - c^2$ на множители:
$\frac{a^2}{c(a-c)} : \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{a^2}{c(a-c)} \cdot \frac{a^2-c^2}{a} = \frac{a^2}{c(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{a}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$ и $(a-c)$):
$\frac{a^{\cancel{2}}}{c\cancel{(a-c)}} \cdot \frac{\cancel{(a-c)}(a+c)}{\cancel{a}} = \frac{a(a+c)}{c}$.
Ответ: $\frac{a(a+c)}{c}$

б) Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Разложим знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{ab}$.
Сокращаем общие множители $ab$ и $(a+b)$:
$\frac{\cancel{ab}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{ab}} = \frac{1}{a-b}$.
Теперь выполняем вычитание:
$\frac{1}{a-b} - \frac{b}{a^2-b^2} = \frac{1}{a-b} - \frac{b}{(a-b)(a+b)}$.
Приводим к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$\frac{1(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a^2-b^2}$.
Ответ: $\frac{a}{a^2-b^2}$

в) Упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$ :
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$.
Упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - a^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(\frac{a^2-b^2}{ab}) \cdot (\frac{2ab}{a^2-b^2})$.
Сократим общие множители $(a^2-b^2)$ и $ab$:
$\frac{\cancel{a^2-b^2}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{2\cancel{ab}}{\cancel{a^2-b^2}} = 2$.
Ответ: $2$

г) Упростим делимое (выражение в первой скобке), приведя к общему знаменателю $xy$ и используя формулу квадрата суммы:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = \frac{x^2+y^2+2xy}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy}$.
Упростим делитель (выражение во второй скобке), приведя к общему знаменателю $x$ и используя формулу квадрата суммы:
$x+2y+\frac{y^2}{x} = \frac{x^2+2xy+y^2}{x} = \frac{(x+y)^2}{x}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{(x+y)^2}{xy} : \frac{(x+y)^2}{x} = \frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{x}{(x+y)^2}$.
Сократим общие множители $(x+y)^2$ и $x$:
$\frac{\cancel{(x+y)^2}}{y\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{(x+y)^2}} = \frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$

д) Упростим делимое, приведя к общему знаменателю $y+1$ :
$y - \frac{y^2}{y+1} = \frac{y(y+1) - y^2}{y+1} = \frac{y^2+y-y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1}$.
Упростим делитель, приведя к общему знаменателю $y+1$ :
$y - \frac{y}{y+1} = \frac{y(y+1) - y}{y+1} = \frac{y^2+y-y}{y+1} = \frac{y^2}{y+1}$.
Выполним деление:
$\frac{y}{y+1} : \frac{y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1} \cdot \frac{y+1}{y^2}$.
Сократим общие множители $(y+1)$ и $y$:
$\frac{\cancel{y}}{\cancel{y+1}} \cdot \frac{\cancel{y+1}}{y^{\cancel{2}}} = \frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$

е) Упростим делимое. Общий знаменатель $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ :
$\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y} = \frac{(x+y) - (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2}$.
Упростим делитель. Общий знаменатель $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ :
$\frac{1}{x-y} + \frac{1}{x+y} = \frac{(x+y) + (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y+x-y}{x^2-y^2} = \frac{2x}{x^2-y^2}$.
Выполним деление:
$\frac{2y}{x^2-y^2} : \frac{2x}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x}$.
Сократим общие множители $(x^2-y^2)$ и $2$ :
$\frac{\cancel{2}y}{\cancel{x^2-y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2-y^2}}{\cancel{2}x} = \frac{y}{x}$.
Ответ: $\frac{y}{x}$