Номер 208, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 208, страница 87.

208 Выполните действие:

a) $\frac{a + 1}{a^2 - a} - \frac{a - 1}{a^2 + a}$

б) $\frac{c^2 - 16}{c^2 - 2c} \cdot \frac{c - 2}{c^2 + 4c}$

в) $\frac{(a - c)^2}{ac + c^2} : \frac{a^2 - c^2}{c}$

а) $ \frac{a+1}{a^2-a} - \frac{a-1}{a^2+a} $
Сначала разложим знаменатели дробей на множители, вынеся общий множитель за скобки:
$ a^2 - a = a(a-1) $
$ a^2 + a = a(a+1) $
Получаем выражение:
$ \frac{a+1}{a(a-1)} - \frac{a-1}{a(a+1)} $
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-1)(a+1) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a+1) $, а второй дроби — на $ (a-1) $:
$ \frac{(a+1)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{a(a-1)(a+1)} $
Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):
$ \frac{(a^2+2a+1) - (a^2-2a+1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1 - a^2+2a-1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{4a}{a(a-1)(a+1)} $
Сократим $a$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{4}{(a-1)(a+1)} $
Применим в знаменателе формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $:
$ \frac{4}{a^2-1} $
Ответ: $ \frac{4}{a^2-1} $

б) $ \frac{c^2 - 16}{c^2 - 2c} \cdot \frac{c - 2}{c^2 + 4c} $
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ c^2 - 16 = (c-4)(c+4) $ (формула разности квадратов)
$ c^2 - 2c = c(c-2) $ (вынесение общего множителя)
$ c^2 + 4c = c(c+4) $ (вынесение общего множителя)
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{(c-4)(c+4)}{c(c-2)} \cdot \frac{c-2}{c(c+4)} $
Сократим общие множители $ (c+4) $ и $ (c-2) $:
$ \frac{(c-4)\cancel{(c+4)}}{c\cancel{(c-2)}} \cdot \frac{\cancel{c-2}}{c\cancel{(c+4)}} = \frac{c-4}{c} \cdot \frac{1}{c} $
Перемножим оставшиеся дроби:
$ \frac{c-4}{c^2} $
Ответ: $ \frac{c-4}{c^2} $

в) $ \frac{(a-c)^2}{ac+c^2} : \frac{a^2-c^2}{c} $
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{(a-c)^2}{ac+c^2} \cdot \frac{c}{a^2-c^2} $
Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй дроби:
$ ac+c^2 = c(a+c) $ (вынесение общего множителя)
$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $ (формула разности квадратов)
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(a-c)^2}{c(a+c)} \cdot \frac{c}{(a-c)(a+c)} $
Сократим общие множители $c$ и $ (a-c) $:
$ \frac{(a-c)^{\cancel{2}}}{\cancel{c}(a+c)} \cdot \frac{\cancel{c}}{\cancel{(a-c)}(a+c)} = \frac{a-c}{a+c} \cdot \frac{1}{a+c} $
Перемножим оставшиеся части:
$ \frac{a-c}{(a+c)^2} $
Ответ: $ \frac{a-c}{(a+c)^2} $