Номер 203, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 203, страница 86.

203 Выясните, какова область определения данного выражения, и укажите несколько пар значений переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Образец. Областью определения выражения $\frac{xy}{x + 2y}$ служит множество пар $(x; y)$, таких, что $x + 2y \neq 0$, т.е. таких, в которых $y \neq -\frac{x}{2}$.

а) $\frac{xy}{x - y}$;

б) $\frac{x - y}{x + y}$;

в) $\frac{x + 2y}{2x - y}$;

г) $\frac{x^2 + y^2}{xy}$;

д) $\frac{x + y}{x^2 + y^2}$.

а) Областью определения данного выражения является множество всех пар чисел $(x; y)$, при которых знаменатель $x - y$ не равен нулю. Выражение не имеет смысла, если $x - y = 0$, то есть при $x = y$.
Таким образом, область определения — это все пары $(x; y)$, в которых $x \neq y$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(2; 2)$, $( -5; -5)$, $(10; 10)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $x \neq y$.

б) Выражение определено, когда его знаменатель $x + y$ не равен нулю. Выражение не имеет смысла, если $x + y = 0$, то есть при $y = -x$.
Следовательно, область определения — это множество всех пар $(x; y)$, для которых $y \neq -x$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(3; -3)$, $( -1; 1)$, $(8; -8)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $y \neq -x$.

в) Выражение определено, когда его знаменатель $2x - y$ не равен нулю. Выражение не имеет смысла, если $2x - y = 0$, то есть при $y = 2x$.
Область определения — это множество всех пар $(x; y)$, для которых $y \neq 2x$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(1; 2)$, $(3; 6)$, $(-4; -8)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $y \neq 2x$.

г) Знаменатель выражения $xy$ не должен равняться нулю. Произведение $xy=0$ в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $x = 0$ или $y = 0$.
Следовательно, область определения — это все пары чисел $(x; y)$, в которых $x \neq 0$ и $y \neq 0$.
Пары значений переменных, при которых выражение не имеет смысла: $(0; 7)$, $(5; 0)$, $(0; -3)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, такие что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

д) Знаменатель выражения $x^2 + y^2$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных чисел, их сумма $x^2 + y^2$ равна нулю только в единственном случае, когда $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$ одновременно, то есть $x=0$ и $y=0$.
Таким образом, область определения — это все пары чисел $(x; y)$, за исключением пары $(0; 0)$.
Существует только одна пара значений, при которой выражение не имеет смысла: $(0; 0)$.
Ответ: область определения — все пары чисел $(x; y)$, кроме $(0; 0)$.