Номер 206, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 206, страница 86.

206 a) Преобразуйте в многочлен выражение

$(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13).$

Объясните, почему значение этого выражения ни при каком целом $n$ не делится на 6.

б) Преобразуйте в многочлен выражение

$6(n - 2)(n + 2) - (3n + 2)(2n + 3) - (5 - 18n).$

Докажите, что значение этого выражения при любом целом значении $n$ есть число, делящееся на 5.

а)

Первым шагом преобразуем данное выражение в многочлен. Для этого раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(2n + 1)(n + 5) = 2n \cdot n + 2n \cdot 5 + 1 \cdot n + 1 \cdot 5 = 2n^2 + 10n + n + 5 = 2n^2 + 11n + 5$.

2. Второе слагаемое преобразуем с использованием формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$2(n + 3)(n - 3) = 2(n^2 - 3^2) = 2(n^2 - 9) = 2n^2 - 18$.

3. Раскроем последнюю скобку:
$-(5n + 13) = -5n - 13$.

4. Теперь объединим все полученные части и упростим выражение:
$(2n^2 + 11n + 5) - (2n^2 - 18) - (5n + 13) = 2n^2 + 11n + 5 - 2n^2 + 18 - 5n - 13$.

5. Сгруппируем подобные члены:
$(2n^2 - 2n^2) + (11n - 5n) + (5 + 18 - 13) = 0 + 6n + 10 = 6n + 10$.

Полученный многочлен: $6n + 10$.

Теперь объясним, почему значение этого выражения $6n + 10$ не делится на 6 ни при каком целом значении $n$.
Выражение состоит из двух слагаемых: $6n$ и $10$.
Первое слагаемое, $6n$, очевидно, делится на 6 для любого целого $n$, так как является произведением 6 и целого числа.
Второе слагаемое, $10$, при делении на 6 дает в остатке 4 ($10 = 6 \cdot 1 + 4$).
Следовательно, вся сумма $6n + 10$ при делении на 6 будет давать такой же остаток, как и 10, то есть 4. Поскольку остаток от деления на 6 не равен нулю, выражение $6n + 10$ не делится на 6 нацело ни при каком целом $n$.

Ответ: многочлен $6n + 10$; значение выражения не делится на 6, так как при любом целом $n$ оно представляет собой сумму числа $6n$, кратного 6, и числа 10, которое не кратно 6, и при делении на 6 всегда дает остаток 4.

б)

Преобразуем данное выражение в многочлен, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $6(n - 2)(n + 2) - (3n + 2)(2n + 3) - (5 - 18n)$.

1. Используем формулу разности квадратов для первого слагаемого:
$6(n - 2)(n + 2) = 6(n^2 - 2^2) = 6(n^2 - 4) = 6n^2 - 24$.

2. Раскроем произведение скобок во втором слагаемом:
$(3n + 2)(2n + 3) = 3n \cdot 2n + 3n \cdot 3 + 2 \cdot 2n + 2 \cdot 3 = 6n^2 + 9n + 4n + 6 = 6n^2 + 13n + 6$.

3. Раскроем последнюю скобку:
$-(5 - 18n) = -5 + 18n$.

4. Подставим все в исходное выражение:
$(6n^2 - 24) - (6n^2 + 13n + 6) - (5 - 18n) = 6n^2 - 24 - 6n^2 - 13n - 6 - 5 + 18n$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6n^2 - 6n^2) + (-13n + 18n) + (-24 - 6 - 5) = 0 + 5n - 35 = 5n - 35$.

Полученный многочлен: $5n - 35$.

Теперь докажем, что значение этого выражения делится на 5 при любом целом значении $n$.
Для этого вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5n - 35 = 5(n - 7)$.
Так как $n$ по условию является целым числом, то разность $(n - 7)$ также будет целым числом.
Таким образом, выражение $5(n - 7)$ представляет собой произведение числа 5 и целого числа $(n - 7)$. По определению делимости, такое произведение всегда делится на 5 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: многочлен $5n - 35$; значение выражения делится на 5 при любом целом $n$, так как его можно представить в виде $5(n - 7)$, где $(n - 7)$ — целое число.