Номер 210, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 210, страница 87.

210 Представьте в виде отношения многочленов выражение:

а) $\frac{1 - \frac{1}{c}}{1 + \frac{1}{c}}$;

б) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{1 + \frac{2a + b}{b}}$;

в) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$.

а)

Чтобы представить данное выражение в виде отношения многочленов, мы сначала упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю.

1. Упростим числитель: $1 - \frac{1}{c}$. Общий знаменатель - $c$.
$1 - \frac{1}{c} = \frac{c}{c} - \frac{1}{c} = \frac{c - 1}{c}$

2. Упростим знаменатель: $1 + \frac{1}{c}$. Общий знаменатель - $c$.
$1 + \frac{1}{c} = \frac{c}{c} + \frac{1}{c} = \frac{c + 1}{c}$

3. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:
$\frac{1 - \frac{1}{c}}{1 + \frac{1}{c}} = \frac{\frac{c - 1}{c}}{\frac{c + 1}{c}}$

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{c - 1}{c} \cdot \frac{c}{c + 1} = \frac{(c - 1)c}{c(c + 1)}$

5. Сократим общий множитель $c$ (при условии, что $c \neq 0$):
$\frac{c - 1}{c + 1}$

Ответ: $\frac{c - 1}{c + 1}$

б)

Аналогично предыдущему пункту, упростим числитель и знаменатель, приведя их к общему знаменателю $b$.

1. Упростим числитель: $\frac{2a - b}{b} + 1$.
$\frac{2a - b}{b} + 1 = \frac{2a - b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a - b + b}{b} = \frac{2a}{b}$

2. Упростим знаменатель: $1 + \frac{2a + b}{b}$.
$1 + \frac{2a + b}{b} = \frac{b}{b} + \frac{2a + b}{b} = \frac{b + 2a + b}{b} = \frac{2a + 2b}{b}$

3. Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{1 + \frac{2a + b}{b}} = \frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a + 2b}{b}}$

4. Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель:
$\frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{2a + 2b} = \frac{2a \cdot b}{b \cdot (2a + 2b)} = \frac{2ab}{b \cdot 2(a + b)}$

5. Сократим общие множители $2b$ (при условии, что $b \neq 0$):
$\frac{a}{a + b}$

Ответ: $\frac{a}{a + b}$

в)

Для упрощения этого выражения умножим числитель и знаменатель основной дроби на одно и то же выражение, чтобы избавиться от вложенных дробей.

1. Наименьший общий знаменатель для всех дробей в выражении ($\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{ab}, \frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}$) это $abc$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $abc$ (при условии $a,b,c \neq 0$):
$\frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc}{(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc}$

2. Раскроем скобки в числителе, используя распределительный закон умножения:
$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc = \frac{abc}{a} + \frac{abc}{b} + \frac{abc}{c} = bc + ac + ab$

3. Раскроем скобки в знаменателе:
$(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc = \frac{abc}{ab} + \frac{abc}{bc} + \frac{abc}{ac} = c + a + b$

4. В результате получаем искомое отношение многочленов. Для удобства чтения запишем члены многочленов в алфавитном порядке:
$\frac{ab + ac + bc}{a + b + c}$

Ответ: $\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}$