Номер 204, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 204, страница 86.

204 Для каждой из функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, заданных формулами, укажите соответствующий график, если известно, что:

a) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ (рис. 3.3);

б) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ (рис. 3.4).

Puc. 3.3

Puc. 3.4

а) Рассмотрим функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ и графики на рис. 3.3.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ область определения исключает значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^2 - 1 = 0$, то есть $x = 1$ и $x = -1$. Это означает, что у графика функции $f(x)$ есть две вертикальные асимптоты: $x = -1$ и $x = 1$. Такой вид имеет график под номером (2). Кроме того, найдем значение функции при $x=0$: $f(0) = \frac{1}{0^2 - 1} = -1$. Это соответствует точке $(0, -1)$ на графике (2).

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$) и никогда не обращается в ноль. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, и у ее графика нет вертикальных асимптот. Этому условию соответствует график под номером (1). Найдем значение функции при $x=0$: $g(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1$. Это точка максимума на графике (1).

Таким образом, график функции $y = f(x)$ — это график (2), а график функции $y = g(x)$ — это график (1).

Ответ: для $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ — график (2); для $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ — график (1).

б) Рассмотрим функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и графики на рис. 3.4.

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ преобразуем знаменатель: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Знаменатель обращается в ноль при $x=1$. Следовательно, у графика функции $g(x)$ есть вертикальная асимптота $x=1$. Этому соответствует график (2). Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для всех $x$, то и $g(x) \ge 0$ (кроме точки $x=1$). Это также соответствует графику (2), где обе ветви находятся выше оси Ox.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ исследуем знаменатель. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 2$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, знаменатель никогда не равен нулю, и вертикальных асимптот у графика нет. Этому соответствует график (1). Можно также выделить полный квадрат в знаменателе: $x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, минимальное значение знаменателя равно 1 и достигается при $x=1$. Следовательно, максимальное значение функции $f(x)$ равно $\frac{1}{1} = 1$ и достигается при $x=1$, что соответствует вершине на графике (1).

Таким образом, график функции $y = f(x)$ — это график (1), а график функции $y = g(x)$ — это график (2).

Ответ: для $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ — график (1); для $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ — график (2).