Номер 199, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 199, страница 85.

199 Найдите область определения выражения (№ 199, 200):

а) $\frac{a^2 - 1}{(a + 2)(3 - a)}$;

б) $\frac{4a}{a^2 - 4}$;

в) $\frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$;

г) $\frac{a - 5}{a^2}$;

д) $\frac{1 + a}{1 - 2a + a^2}$;

е) $\frac{a + 4}{a^2 - 5a + 6}$;

ж) $(3a + 2)^2$;

з) $2a^{-2} - 4$.

а) Данное выражение $\frac{a^2 - 1}{(a + 2)(3 - a)}$ является дробно-рациональным. Область определения такого выражения — это все значения переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $a$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:
$(a + 2)(3 - a) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$a + 2 = 0$, откуда $a = -2$.
$3 - a = 0$, откуда $a = 3$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $a = -2$ и $a = 3$.
Ответ: все числа, кроме -2 и 3.

б) Выражение $\frac{4a}{a^2 - 4}$ является дробью. Оно определено для всех значений $a$, при которых знаменатель не равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:
$a^2 - 4 = 0$
$(a - 2)(a + 2) = 0$
Отсюда $a - 2 = 0$ или $a + 2 = 0$.
Получаем $a = 2$ и $a = -2$.
Значит, область определения — это все числа, за исключением 2 и -2.
Ответ: все числа, кроме -2 и 2.

в) В выражении $\frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$ знаменатель равен $a^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то $a^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, выражение определено для любых действительных значений $a$.
Ответ: все числа.

г) Выражение $\frac{a - 5}{a^2}$ определено для всех $a$, при которых знаменатель $a^2$ не равен нулю.
$a^2 = 0$
Это уравнение имеет единственный корень $a = 0$.
Следовательно, область определения выражения — это все действительные числа, кроме 0.
Ответ: все числа, кроме 0.

д) В выражении $\frac{1 + a}{1 - 2a + a^2}$ знаменатель представляет собой квадрат разности: $1 - 2a + a^2 = (1 - a)^2$. Выражение определено, если знаменатель не равен нулю.
$(1 - a)^2 = 0$
$1 - a = 0$
$a = 1$
Область определения — это все действительные числа, кроме 1.
Ответ: все числа, кроме 1.

е) Для нахождения области определения выражения $\frac{a + 4}{a^2 - 5a + 6}$ нужно, чтобы знаменатель $a^2 - 5a + 6$ не был равен нулю. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.
Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $a = 2$ и $a = 3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: все числа, кроме 2 и 3.

ж) Выражение $(3a + 2)^2$ является многочленом (в данном случае, после раскрытия скобок, получится квадратный трехчлен $9a^2 + 12a + 4$). Многочлены определены для любых действительных значений переменной, так как для их вычисления выполняются только операции умножения, сложения и вычитания, которые определены для всех чисел.
Ответ: все числа.

з) Выражение $2a^{-2} - 4$ содержит степень с отрицательным показателем. По определению, $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Таким образом, выражение можно переписать в виде $\frac{2}{a^2} - 4$.
Это выражение определено, когда знаменатель $a^2$ не равен нулю.
$a^2 = 0 \Rightarrow a = 0$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме 0.
Ответ: все числа, кроме 0.