Номер 6, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 2. Квадратичная функция - номер 6, страница 79.

6 Постройте график функции: а) $y = (x - 2)^2 - 1$; б) $y = -(x + 2)^2 + 4$.

В каждом случае укажите:

1) наименьшее (или наибольшее) значение функции;

2) промежуток, на котором функция возрастает (убывает).

а) $y = (x - 2)^2 - 1$

Графиком данной функции является парабола. Она получена из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси абсцисс и на 1 единицу вниз по оси ординат.

Общий вид уравнения параболы в вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. В нашем случае $a=1$, $h=2$, $k=-1$.

Координаты вершины параболы: $(2; -1)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для более точного построения графика найдем несколько ключевых точек:

• Вершина: $(2, -1)$.
• Точки пересечения с осью Ох (при $y=0$):
  $0 = (x - 2)^2 - 1 \implies (x - 2)^2 = 1 \implies x - 2 = \pm 1$.
  Отсюда $x_1 = 2 + 1 = 3$ и $x_2 = 2 - 1 = 1$.
  Точки: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Оу (при $x=0$):
  $y = (0 - 2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
  Точка: $(0, 3)$.
• Используя ось симметрии $x=2$, найдем точку, симметричную точке $(0, 3)$. Это будет точка $(4, 3)$.

По этим точкам можно построить график параболы.

1) наименьшее (или наибольшее) значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет точку минимума в своей вершине. Следовательно, у функции есть наименьшее значение, но нет наибольшего.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{min} = -1$.

2) промежуток, на котором функция возрастает (убывает)

Функция убывает слева от вершины (где $x < 2$) и возрастает справа от вершины (где $x > 2$).

Промежуток возрастания: $[2; +\infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty; 2]$.

Ответ: 1) Наименьшее значение функции равно -1. 2) Функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

---

б) $y = -(x + 2)^2 + 4$

Графиком данной функции является парабола. Она получена из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем отражения относительно оси абсцисс, сдвига на 2 единицы влево по оси абсцисс и на 4 единицы вверх по оси ординат.

Общий вид уравнения $y = a(x - h)^2 + k$. В нашем случае $y = -1(x - (-2))^2 + 4$, поэтому $a=-1$, $h=-2$, $k=4$.

Координаты вершины параболы: $(-2; 4)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

Так как коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для более точного построения графика найдем несколько ключевых точек:

• Вершина: $(-2, 4)$.
• Точки пересечения с осью Ох (при $y=0$):
  $0 = -(x + 2)^2 + 4 \implies (x + 2)^2 = 4 \implies x + 2 = \pm 2$.
  Отсюда $x_1 = -2 + 2 = 0$ и $x_2 = -2 - 2 = -4$.
  Точки: $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.
• Точка пересечения с осью Оу (при $x=0$) — это точка $(0, 0)$.
• Используя ось симметрии $x=-2$, найдем точки, симметричные известным. Например, возьмем точку $x=-1$.
  $y = -(-1 + 2)^2 + 4 = -1^2 + 4 = 3$.
  Точка: $(-1, 3)$. Симметричная ей точка: $(-3, 3)$.

По этим точкам можно построить график параболы.

1) наименьшее (или наибольшее) значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет точку максимума в своей вершине. Следовательно, у функции есть наибольшее значение, но нет наименьшего.

Наибольшее значение функции равно ординате вершины: $y_{max} = 4$.

2) промежуток, на котором функция возрастает (убывает)

Функция возрастает слева от вершины (где $x < -2$) и убывает справа от вершины (где $x > -2$).

Промежуток возрастания: $(-\infty; -2]$.

Промежуток убывания: $[-2; +\infty)$.

Ответ: 1) Наибольшее значение функции равно 4. 2) Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.