Номер 200, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 200, страница 85.

Найдите область определения выражения (№ 199, 200):

200 а) $\frac{1}{x} + \frac{x}{x - 3}$;

б) $2x - \frac{2x}{x + 2}$;

в) $\frac{x}{x^2 - 1} - \frac{x}{x + 1}$.

а)

Область определения выражения — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл. Выражение $\frac{1}{x} + \frac{x}{x-3}$ представляет собой сумму двух алгебраических дробей. Алгебраическая дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Рассмотрим каждую дробь отдельно:

1. Для первой дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель равен $x$. Следовательно, должно выполняться условие $x \neq 0$.

2. Для второй дроби $\frac{x}{x-3}$ знаменатель равен $x-3$. Следовательно, должно выполняться условие $x-3 \neq 0$, из которого следует, что $x \neq 3$.

Чтобы все выражение имело смысл, должны выполняться оба условия одновременно. Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме $0$ и $3$.

Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

б)

Данное выражение $2x - \frac{2x}{x+2}$ является разностью многочлена $2x$ и алгебраической дроби $\frac{2x}{x+2}$.

Многочлен $2x$ определен для любых действительных значений переменной $x$.

Дробь $\frac{2x}{x+2}$ имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Знаменатель этой дроби равен $x+2$.

Поэтому необходимо выполнение условия $x+2 \neq 0$. Решая это неравенство, получаем $x \neq -2$.

Следовательно, область определения всего выражения — это все действительные числа, кроме $-2$.

Ответ: $x \neq -2$.

в)

Выражение $\frac{x}{x^2-1} - \frac{x}{x+1}$ представляет собой разность двух алгебраических дробей. Область определения находится из условия, что знаменатели обеих дробей не должны равняться нулю.

1. Рассмотрим знаменатель первой дроби $\frac{x}{x^2-1}$. Он равен $x^2-1$. Условие $x^2-1 \neq 0$. Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, разложим знаменатель на множители: $(x-1)(x+1) \neq 0$. Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю. Отсюда получаем два условия: $x-1 \neq 0$ (то есть $x \neq 1$) и $x+1 \neq 0$ (то есть $x \neq -1$).

2. Рассмотрим знаменатель второй дроби $\frac{x}{x+1}$. Он равен $x+1$. Условие $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Для того чтобы исходное выражение имело смысл, необходимо, чтобы все найденные условия выполнялись одновременно. Объединив их ($x \neq 1$, $x \neq -1$ и $x \neq -1$), получаем, что $x$ не должен быть равен $1$ и $-1$.

Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.