Номер 207, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 207, страница 86.

207 Замените в выражении

$(2n + 3)^2 - (n + 2)(4n - 3) + A$

букву A таким многочленом, чтобы числовое значение получившегося выражения при любом целом $n$ делилось на 3. Дайте несколько ответов.

Для того чтобы числовое значение выражения $(2n + 3)^2 - (n + 2)(4n - 3) + A$ при любом целом $n$ делилось на 3, необходимо сначала упростить часть выражения, не содержащую $A$.

1. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала возведем в квадрат первый член, используя формулу квадрата суммы:

$(2n + 3)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 3 + 3^2 = 4n^2 + 12n + 9$

Затем раскроем произведение скобок:

$(n + 2)(4n - 3) = n \cdot 4n - 3 \cdot n + 2 \cdot 4n - 2 \cdot 3 = 4n^2 - 3n + 8n - 6 = 4n^2 + 5n - 6$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение и упростим его:

$(4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 5n - 6) = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 - 5n + 6 = (4n^2 - 4n^2) + (12n - 5n) + (9 + 6) = 7n + 15$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде $7n + 15 + A$.

2. Проанализируем полученное выражение $7n + 15 + A$ на делимость на 3.

Слагаемое $15$ делится на 3, так как $15 = 3 \cdot 5$. Чтобы вся сумма делилась на 3, необходимо, чтобы сумма $7n + A$ также делилась на 3 при любом целом $n$.

Представим $7n$ как $6n + n$. Слагаемое $6n$ всегда делится на 3. Следовательно, выражение $6n + n + A$ будет делиться на 3, если сумма $n + A$ будет делиться на 3.

Итак, задача сводится к поиску такого многочлена $A$, чтобы выражение $n + A$ было кратно 3 для любого целого $n$. Приведем несколько примеров.

Пример 1

Выберем простейший многочлен $A = -n$. Проверим, выполняется ли наше условие: $n + A = n + (-n) = 0$. Ноль делится на 3, значит, условие выполняется. Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 - n = 6n + 15$

Выражение $6n + 15$ делится на 3 при любом целом $n$, так как оба слагаемых делятся на 3: $6n + 15 = 3(2n + 5)$.

Ответ: $A = -n$.

Пример 2

Пусть $A = 2n$. Проверим условие: $n + A = n + 2n = 3n$. Выражение $3n$ очевидно делится на 3 при любом целом $n$. Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 + 2n = 9n + 15$

Выражение $9n + 15$ делится на 3 при любом целом $n$, так как $9n + 15 = 3(3n + 5)$.

Ответ: $A = 2n$.

Пример 3

Можно выбрать многочлен $A$, который содержит константу. Главное, чтобы $n+A$ было кратно 3. Например, пусть $A = -n + 3$.

Проверим условие: $n + A = n + (-n + 3) = 3$. Число 3 делится на 3.

Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 + (-n + 3) = 6n + 18$

Выражение $6n + 18$ делится на 3 при любом целом $n$, так как $6n + 18 = 3(2n + 6)$.

Ответ: $A = -n + 3$.

Пример 4

В качестве $A$ можно взять любой многочлен вида $P(n) = 2n + 3k$ или $P(n) = -n + 3k$, где $k$ — любое целое число. Например, возьмем $A = 2n - 9$ (здесь $k=-3$).

Проверим условие: $n + A = n + (2n - 9) = 3n - 9$. Выражение $3n - 9 = 3(n-3)$ делится на 3.

Подставим этот многочлен в упрощенное выражение:

$7n + 15 + A = 7n + 15 + (2n - 9) = 9n + 6$

Выражение $9n + 6$ делится на 3 при любом целом $n$, так как $9n + 6 = 3(3n + 2)$.

Ответ: $A = 2n - 9$.