Номер 205, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 205, страница 86.

205 а) Преобразуйте в многочлен выражение

$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b).$

Докажите, что при любых значениях $a$ и $b$ значение выражения неотрицательно.

б) Преобразуйте в многочлен выражение

$(c + 2)(c - 2) - (2c - 1)(2c + 1) + 3.$

Докажите, что ни при каком значении $c$ значение выражения не может быть числом положительным.

а) Чтобы преобразовать выражение в многочлен, воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Подставим эти выражения в исходное:
$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b) = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2 = (a^2 + a^2 - a^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 + b^2 + b^2) = a^2 + 3b^2$

Докажем, что полученный многочлен $a^2 + 3b^2$ неотрицателен при любых значениях $a$ и $b$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$.
Произведение положительного числа $3$ на неотрицательное число $b^2$ также является неотрицательным: $3b^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел ($a^2$ и $3b^2$) всегда неотрицательна: $a^2 + 3b^2 \ge 0$.
Следовательно, значение выражения неотрицательно при любых значениях $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^2 + 3b^2$.

б) Преобразуем выражение в многочлен, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для каждой пары скобок.
$(c + 2)(c - 2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4$
$(2c - 1)(2c + 1) = (2c)^2 - 1^2 = 4c^2 - 1$

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$(c + 2)(c - 2) - (2c - 1)(2c + 1) + 3 = (c^2 - 4) - (4c^2 - 1) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$c^2 - 4 - 4c^2 + 1 + 3 = (c^2 - 4c^2) + (-4 + 1 + 3) = -3c^2$

Докажем, что при любом значении $c$ значение выражения $-3c^2$ не может быть положительным.
Квадрат любого действительного числа $c$ является неотрицательным числом: $c^2 \ge 0$.
При умножении неотрицательного числа $c^2$ на отрицательное число $-3$, результат всегда будет неположительным (то есть меньшим или равным нулю): $-3c^2 \le 0$.
Поскольку значение выражения всегда меньше или равно нулю, оно не может быть положительным числом ни при каком значении $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-3c^2$.