Номер 209, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 209, страница 87.

209 Упростите выражение:

а) $x - y - \frac{(x + y)^2}{x - y}$;

б) $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2} : (x + y)$;

В) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot (x - y)$.

а) $x - y - \frac{(x + y)^2}{x - y}$

Чтобы упростить выражение, приведем его к общему знаменателю $(x - y)$:

$x - y - \frac{(x + y)^2}{x - y} = \frac{(x - y)(x - y)}{x - y} - \frac{(x + y)^2}{x - y} = \frac{(x - y)^2 - (x + y)^2}{x - y}$

Теперь раскроем скобки в числителе. Можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x-y$ и $b = x+y$:

$(x-y)^2 - (x+y)^2 = ((x-y) - (x+y))((x-y) + (x+y)) = (x - y - x - y)(x - y + x + y) = (-2y)(2x) = -4xy$

Подставим полученный результат в числитель дроби:

$\frac{-4xy}{x - y}$

Альтернативный способ: можно было раскрыть каждый квадрат по формулам квадрата разности и квадрата суммы: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$\frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + 2xy + y^2)}{x - y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{x - y} = \frac{-4xy}{x - y}$

Ответ: $\frac{-4xy}{x - y}$

б) $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2} : (x + y)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ и разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель дроби: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$

Знаменатель дроби: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставим эти выражения обратно в исходное:

$\frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)} : (x + y)$

Деление на выражение $(x+y)$ эквивалентно умножению на обратное ему выражение $\frac{1}{x+y}$:

$\frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{1}{x + y} = \frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)(x + y)} = \frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)^2}$

Сократим одинаковые множители $(x+y)^2$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x+y \neq 0$):

$\frac{1}{x - y}$

Ответ: $\frac{1}{x - y}$

в) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot (x - y)$

Сначала разложим числитель и знаменатель дроби на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрат разности $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

Числитель: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Знаменатель: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2} \cdot (x - y)$

Представим множитель $(x-y)$ в виде дроби $\frac{x-y}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2} \cdot \frac{x - y}{1} = \frac{(x - y)(x + y)(x - y)}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)^2(x + y)}{(x - y)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)^2$ (при условии, что $x-y \neq 0$):

$x + y$

Ответ: $x + y$