Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

208 Выполните действие:

a) $\frac{a + 1}{a^2 - a} - \frac{a - 1}{a^2 + a}$

б) $\frac{c^2 - 16}{c^2 - 2c} \cdot \frac{c - 2}{c^2 + 4c}$

в) $\frac{(a - c)^2}{ac + c^2} : \frac{a^2 - c^2}{c}$

а) $ \frac{a+1}{a^2-a} - \frac{a-1}{a^2+a} $
Сначала разложим знаменатели дробей на множители, вынеся общий множитель за скобки:
$ a^2 - a = a(a-1) $
$ a^2 + a = a(a+1) $
Получаем выражение:
$ \frac{a+1}{a(a-1)} - \frac{a-1}{a(a+1)} $
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-1)(a+1) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a+1) $, а второй дроби — на $ (a-1) $:
$ \frac{(a+1)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{a(a-1)(a+1)} $
Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):
$ \frac{(a^2+2a+1) - (a^2-2a+1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1 - a^2+2a-1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{4a}{a(a-1)(a+1)} $
Сократим $a$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{4}{(a-1)(a+1)} $
Применим в знаменателе формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $:
$ \frac{4}{a^2-1} $
Ответ: $ \frac{4}{a^2-1} $

б) $ \frac{c^2 - 16}{c^2 - 2c} \cdot \frac{c - 2}{c^2 + 4c} $
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ c^2 - 16 = (c-4)(c+4) $ (формула разности квадратов)
$ c^2 - 2c = c(c-2) $ (вынесение общего множителя)
$ c^2 + 4c = c(c+4) $ (вынесение общего множителя)
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{(c-4)(c+4)}{c(c-2)} \cdot \frac{c-2}{c(c+4)} $
Сократим общие множители $ (c+4) $ и $ (c-2) $:
$ \frac{(c-4)\cancel{(c+4)}}{c\cancel{(c-2)}} \cdot \frac{\cancel{c-2}}{c\cancel{(c+4)}} = \frac{c-4}{c} \cdot \frac{1}{c} $
Перемножим оставшиеся дроби:
$ \frac{c-4}{c^2} $
Ответ: $ \frac{c-4}{c^2} $

в) $ \frac{(a-c)^2}{ac+c^2} : \frac{a^2-c^2}{c} $
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{(a-c)^2}{ac+c^2} \cdot \frac{c}{a^2-c^2} $
Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй дроби:
$ ac+c^2 = c(a+c) $ (вынесение общего множителя)
$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $ (формула разности квадратов)
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(a-c)^2}{c(a+c)} \cdot \frac{c}{(a-c)(a+c)} $
Сократим общие множители $c$ и $ (a-c) $:
$ \frac{(a-c)^{\cancel{2}}}{\cancel{c}(a+c)} \cdot \frac{\cancel{c}}{\cancel{(a-c)}(a+c)} = \frac{a-c}{a+c} \cdot \frac{1}{a+c} $
Перемножим оставшиеся части:
$ \frac{a-c}{(a+c)^2} $
Ответ: $ \frac{a-c}{(a+c)^2} $

209 Упростите выражение:

а) $x - y - \frac{(x + y)^2}{x - y}$;

б) $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2} : (x + y)$;

В) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot (x - y)$.

а) $x - y - \frac{(x + y)^2}{x - y}$

Чтобы упростить выражение, приведем его к общему знаменателю $(x - y)$:

$x - y - \frac{(x + y)^2}{x - y} = \frac{(x - y)(x - y)}{x - y} - \frac{(x + y)^2}{x - y} = \frac{(x - y)^2 - (x + y)^2}{x - y}$

Теперь раскроем скобки в числителе. Можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x-y$ и $b = x+y$:

$(x-y)^2 - (x+y)^2 = ((x-y) - (x+y))((x-y) + (x+y)) = (x - y - x - y)(x - y + x + y) = (-2y)(2x) = -4xy$

Подставим полученный результат в числитель дроби:

$\frac{-4xy}{x - y}$

Альтернативный способ: можно было раскрыть каждый квадрат по формулам квадрата разности и квадрата суммы: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$\frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + 2xy + y^2)}{x - y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{x - y} = \frac{-4xy}{x - y}$

Ответ: $\frac{-4xy}{x - y}$

б) $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2} : (x + y)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ и разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель дроби: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$

Знаменатель дроби: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставим эти выражения обратно в исходное:

$\frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)} : (x + y)$

Деление на выражение $(x+y)$ эквивалентно умножению на обратное ему выражение $\frac{1}{x+y}$:

$\frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{1}{x + y} = \frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)(x + y)} = \frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)^2}$

Сократим одинаковые множители $(x+y)^2$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x+y \neq 0$):

$\frac{1}{x - y}$

Ответ: $\frac{1}{x - y}$

в) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot (x - y)$

Сначала разложим числитель и знаменатель дроби на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрат разности $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

Числитель: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Знаменатель: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2} \cdot (x - y)$

Представим множитель $(x-y)$ в виде дроби $\frac{x-y}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2} \cdot \frac{x - y}{1} = \frac{(x - y)(x + y)(x - y)}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)^2(x + y)}{(x - y)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)^2$ (при условии, что $x-y \neq 0$):

$x + y$

Ответ: $x + y$

210 Представьте в виде отношения многочленов выражение:

а) $\frac{1 - \frac{1}{c}}{1 + \frac{1}{c}}$;

б) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{1 + \frac{2a + b}{b}}$;

в) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$.

а)

Чтобы представить данное выражение в виде отношения многочленов, мы сначала упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю.

1. Упростим числитель: $1 - \frac{1}{c}$. Общий знаменатель - $c$.
$1 - \frac{1}{c} = \frac{c}{c} - \frac{1}{c} = \frac{c - 1}{c}$

2. Упростим знаменатель: $1 + \frac{1}{c}$. Общий знаменатель - $c$.
$1 + \frac{1}{c} = \frac{c}{c} + \frac{1}{c} = \frac{c + 1}{c}$

3. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:
$\frac{1 - \frac{1}{c}}{1 + \frac{1}{c}} = \frac{\frac{c - 1}{c}}{\frac{c + 1}{c}}$

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{c - 1}{c} \cdot \frac{c}{c + 1} = \frac{(c - 1)c}{c(c + 1)}$

5. Сократим общий множитель $c$ (при условии, что $c \neq 0$):
$\frac{c - 1}{c + 1}$

Ответ: $\frac{c - 1}{c + 1}$

б)

Аналогично предыдущему пункту, упростим числитель и знаменатель, приведя их к общему знаменателю $b$.

1. Упростим числитель: $\frac{2a - b}{b} + 1$.
$\frac{2a - b}{b} + 1 = \frac{2a - b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a - b + b}{b} = \frac{2a}{b}$

2. Упростим знаменатель: $1 + \frac{2a + b}{b}$.
$1 + \frac{2a + b}{b} = \frac{b}{b} + \frac{2a + b}{b} = \frac{b + 2a + b}{b} = \frac{2a + 2b}{b}$

3. Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{1 + \frac{2a + b}{b}} = \frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a + 2b}{b}}$

4. Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель:
$\frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{2a + 2b} = \frac{2a \cdot b}{b \cdot (2a + 2b)} = \frac{2ab}{b \cdot 2(a + b)}$

5. Сократим общие множители $2b$ (при условии, что $b \neq 0$):
$\frac{a}{a + b}$

Ответ: $\frac{a}{a + b}$

в)

Для упрощения этого выражения умножим числитель и знаменатель основной дроби на одно и то же выражение, чтобы избавиться от вложенных дробей.

1. Наименьший общий знаменатель для всех дробей в выражении ($\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{ab}, \frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}$) это $abc$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $abc$ (при условии $a,b,c \neq 0$):
$\frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc}{(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc}$

2. Раскроем скобки в числителе, используя распределительный закон умножения:
$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc = \frac{abc}{a} + \frac{abc}{b} + \frac{abc}{c} = bc + ac + ab$

3. Раскроем скобки в знаменателе:
$(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc = \frac{abc}{ab} + \frac{abc}{bc} + \frac{abc}{ac} = c + a + b$

4. В результате получаем искомое отношение многочленов. Для удобства чтения запишем члены многочленов в алфавитном порядке:
$\frac{ab + ac + bc}{a + b + c}$

Ответ: $\frac{ab + bc + ac}{a + b + c}$

211 Преобразуйте в дробь выражение:

a) $ (\frac{c}{a - c} + \frac{a + c}{c}) : \frac{a}{a^2 - c^2}; $

б) $ \frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{ab}{a + b} - \frac{b}{a^2 - b^2}; $

в) $ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot (\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b}); $

г) $ (\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2) : (x + 2y + \frac{y^2}{x}); $

д) $ (y - \frac{y^2}{y + 1}) : (y - \frac{y}{y + 1}); $

е) $ (\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) : (\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}). $

а) Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $c(a-c)$:
$(\frac{c}{a-c} + \frac{a+c}{c}) = \frac{c \cdot c}{(a-c)c} + \frac{(a+c)(a-c)}{c(a-c)} = \frac{c^2 + a^2 - c^2}{c(a-c)} = \frac{a^2}{c(a-c)}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Также разложим знаменатель $a^2 - c^2$ на множители:
$\frac{a^2}{c(a-c)} : \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{a^2}{c(a-c)} \cdot \frac{a^2-c^2}{a} = \frac{a^2}{c(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{a}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$ и $(a-c)$):
$\frac{a^{\cancel{2}}}{c\cancel{(a-c)}} \cdot \frac{\cancel{(a-c)}(a+c)}{\cancel{a}} = \frac{a(a+c)}{c}$.
Ответ: $\frac{a(a+c)}{c}$

б) Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Разложим знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{ab}$.
Сокращаем общие множители $ab$ и $(a+b)$:
$\frac{\cancel{ab}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{ab}} = \frac{1}{a-b}$.
Теперь выполняем вычитание:
$\frac{1}{a-b} - \frac{b}{a^2-b^2} = \frac{1}{a-b} - \frac{b}{(a-b)(a+b)}$.
Приводим к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$\frac{1(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a^2-b^2}$.
Ответ: $\frac{a}{a^2-b^2}$

в) Упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$ :
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$.
Упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - a^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(\frac{a^2-b^2}{ab}) \cdot (\frac{2ab}{a^2-b^2})$.
Сократим общие множители $(a^2-b^2)$ и $ab$:
$\frac{\cancel{a^2-b^2}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{2\cancel{ab}}{\cancel{a^2-b^2}} = 2$.
Ответ: $2$

г) Упростим делимое (выражение в первой скобке), приведя к общему знаменателю $xy$ и используя формулу квадрата суммы:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = \frac{x^2+y^2+2xy}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy}$.
Упростим делитель (выражение во второй скобке), приведя к общему знаменателю $x$ и используя формулу квадрата суммы:
$x+2y+\frac{y^2}{x} = \frac{x^2+2xy+y^2}{x} = \frac{(x+y)^2}{x}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{(x+y)^2}{xy} : \frac{(x+y)^2}{x} = \frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{x}{(x+y)^2}$.
Сократим общие множители $(x+y)^2$ и $x$:
$\frac{\cancel{(x+y)^2}}{y\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{(x+y)^2}} = \frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$

д) Упростим делимое, приведя к общему знаменателю $y+1$ :
$y - \frac{y^2}{y+1} = \frac{y(y+1) - y^2}{y+1} = \frac{y^2+y-y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1}$.
Упростим делитель, приведя к общему знаменателю $y+1$ :
$y - \frac{y}{y+1} = \frac{y(y+1) - y}{y+1} = \frac{y^2+y-y}{y+1} = \frac{y^2}{y+1}$.
Выполним деление:
$\frac{y}{y+1} : \frac{y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1} \cdot \frac{y+1}{y^2}$.
Сократим общие множители $(y+1)$ и $y$:
$\frac{\cancel{y}}{\cancel{y+1}} \cdot \frac{\cancel{y+1}}{y^{\cancel{2}}} = \frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$

е) Упростим делимое. Общий знаменатель $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ :
$\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y} = \frac{(x+y) - (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2}$.
Упростим делитель. Общий знаменатель $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ :
$\frac{1}{x-y} + \frac{1}{x+y} = \frac{(x+y) + (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y+x-y}{x^2-y^2} = \frac{2x}{x^2-y^2}$.
Выполним деление:
$\frac{2y}{x^2-y^2} : \frac{2x}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x}$.
Сократим общие множители $(x^2-y^2)$ и $2$ :
$\frac{\cancel{2}y}{\cancel{x^2-y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2-y^2}}{\cancel{2}x} = \frac{y}{x}$.
Ответ: $\frac{y}{x}$

212 Вычислите значение выражения при тех значениях переменных из приведённого перечня, которые являются допустимыми:

а) $ \frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5}$; $c = -37; -5; 0; 2; 5;$

б) $ \frac{a}{a - c} \cdot \left(\frac{a - c}{a} - 1\right)$; $a = -15$ и $c = -18$; $a = 0$ и $c = 10$; $a = 10$ и $c = 0;$

В) $ \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) \cdot \frac{xy}{x - y}$; $x = \frac{1}{6}$ и $y = -\frac{2}{3}$; $x = 0$ и $y = 22$; $x = 5$ и $y = 5;$

Г) $ \frac{a^2 + 4}{a^2 - 4} - \frac{a}{a + 2}$; $a = -4; -2; 2; \frac{2}{3}.$

а) Исходное выражение: $ \frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю: $ 10c \neq 0 \implies c \neq 0 $ и $ c - 5 \neq 0 \implies c \neq 5 $.
Из предложенного перечня $ c = -37; -5; 0; 2,5 $ недопустимым является значение $ c = 0 $, так как оно приводит к делению на ноль. Остальные значения являются допустимыми.
Для упрощения вычислений сначала преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов $ c^2 - 25 = (c-5)(c+5) $ и сокращая дроби: $ \frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5} = \frac{(c-5)(c+5)}{10c} \cdot \frac{c}{c-5} $.
Сократим на $ c $ и $ (c-5) $, что возможно при наших допустимых значениях: $ \frac{c+5}{10} $.
Теперь вычислим значение выражения для каждого допустимого значения $ c $:
1. При $ c = -37 $: $ \frac{-37+5}{10} = \frac{-32}{10} = -3,2 $.
2. При $ c = -5 $: $ \frac{-5+5}{10} = \frac{0}{10} = 0 $.
3. При $ c = 2,5 $: $ \frac{2,5+5}{10} = \frac{7,5}{10} = 0,75 $.
Ответ: при $c=-37$ значение равно $-3,2$; при $c=-5$ значение равно $0$; при $c=2,5$ значение равно $0,75$.

б) Исходное выражение: $ \frac{a}{a - c} \cdot (\frac{a - c}{a} - 1) $.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ a - c \neq 0 \implies a \neq c $ и $ a \neq 0 $.
Проверим предложенные пары значений:
1. $ a = -15, c = -18 $: допустимо, так как $ -15 \neq -18 $ и $ -15 \neq 0 $.
2. $ a = 0, c = 10 $: недопустимо, так как $ a = 0 $.
3. $ a = 10, c = 0 $: допустимо, так как $ 10 \neq 0 $ и $ 10 \neq 0 $.
Упростим выражение. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю: $ \frac{a - c}{a} - 1 = \frac{a - c}{a} - \frac{a}{a} = \frac{a - c - a}{a} = \frac{-c}{a} $.
Теперь умножим: $ \frac{a}{a - c} \cdot (\frac{-c}{a}) = \frac{a \cdot (-c)}{(a - c) \cdot a} = \frac{-c}{a - c} $.
Вычислим для допустимых пар:
1. При $ a = -15, c = -18 $: $ \frac{-(-18)}{-15 - (-18)} = \frac{18}{-15 + 18} = \frac{18}{3} = 6 $.
2. При $ a = 10, c = 0 $: $ \frac{-0}{10 - 0} = \frac{0}{10} = 0 $.
Ответ: при $a=-15, c=-18$ значение равно $6$; при $a=10, c=0$ значение равно $0$.

в) Исходное выражение: $ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{xy}{x - y} $.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ y \neq 0 $, $ x \neq 0 $ и $ x - y \neq 0 \implies x \neq y $.
Проверим предложенные пары значений:
1. $ x = \frac{1}{6}, y = -\frac{2}{3} $: допустимо, так как $ x \neq 0, y \neq 0 $ и $ x \neq y $.
2. $ x = 0, y = 22 $: недопустимо, так как $ x = 0 $.
3. $ x = 5, y = 5 $: недопустимо, так как $ x = y $.
Упростим выражение. Сначала выполним действие в скобках: $ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} $.
Теперь умножим: $ \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x - y} $.
Сократим на $ xy $ и $ (x-y) $: $ x+y $.
Вычислим для единственной допустимой пары:
При $ x = \frac{1}{6}, y = -\frac{2}{3} $: $ x + y = \frac{1}{6} + (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: при $x=\frac{1}{6}, y=-\frac{2}{3}$ значение равно $-\frac{1}{2}$.

г) Исходное выражение: $ \frac{a^2 + 4}{a^2 - 4} - \frac{a}{a + 2} $.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \neq 0 \implies a \neq 2 $ и $ a \neq -2 $.
Из списка значений $ a = -4; -2; 2; \frac{2}{3} $ недопустимыми являются $ a = -2 $ и $ a = 2 $.
Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $: $ \frac{a^2 + 4}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{(a^2 + 4) - a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 4 - a^2 + 2a}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a + 4}{(a-2)(a+2)} $.
Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a + 2)}{(a-2)(a+2)} $.
Сократим на $ (a+2) $: $ \frac{2}{a - 2} $.
Вычислим для допустимых значений:
1. При $ a = -4 $: $ \frac{2}{-4 - 2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $.
2. При $ a = \frac{2}{3} $: $ \frac{2}{\frac{2}{3} - 2} = \frac{2}{\frac{2}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{2}{-\frac{4}{3}} = 2 \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} $.
Ответ: при $a=-4$ значение равно $-\frac{1}{3}$; при $a=\frac{2}{3}$ значение равно $-\frac{3}{2}$.

213 Выполните подстановку $a = \frac{xy}{x + y}$, $b = \frac{xy}{x - y}$ и упростите выражение:

1) $a + b$;

2) $b - a$;

3) $ab$;

4) $\frac{ab}{a + b}$;

5) $\frac{b - a}{ab}$.

Дано: $a = \frac{xy}{x+y}$, $b = \frac{xy}{x-y}$.

1) a + b;

Подставляем значения $a$ и $b$ в выражение:

$a+b = \frac{xy}{x+y} + \frac{xy}{x-y}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$a+b = \frac{xy(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{xy(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{xy(x-y) + xy(x+y)}{x^2 - y^2}$

Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$a+b = \frac{x^2y - xy^2 + x^2y + xy^2}{x^2-y^2} = \frac{2x^2y}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2x^2y}{x^2-y^2}$

2) b - a;

Подставляем значения $a$ и $b$ в выражение:

$b-a = \frac{xy}{x-y} - \frac{xy}{x+y}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$b-a = \frac{xy(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{xy(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy(x+y) - xy(x-y)}{x^2 - y^2}$

Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$b-a = \frac{x^2y + xy^2 - x^2y + xy^2}{x^2-y^2} = \frac{2xy^2}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2xy^2}{x^2-y^2}$

3) ab;

Подставляем значения $a$ и $b$ и перемножаем их:

$ab = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{xy}{x-y} = \frac{(xy)(xy)}{(x+y)(x-y)}$

Упрощаем, используя формулу разности квадратов в знаменателе:

$ab = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

4) $\frac{ab}{a+b}$;

Используем результаты, полученные в пунктах 1 и 3:

$a+b = \frac{2x^2y}{x^2-y^2}$

$ab = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

Подставляем эти выражения в дробь:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}}{\frac{2x^2y}{x^2-y^2}} = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x^2y}$

Сокращаем одинаковые множители:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{x^2y^2}{2x^2y} = \frac{y}{2}$

Ответ: $\frac{y}{2}$

5) $\frac{b-a}{ab}$.

Используем результаты, полученные в пунктах 2 и 3:

$b-a = \frac{2xy^2}{x^2-y^2}$

$ab = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

Подставляем эти выражения в дробь:

$\frac{b-a}{ab} = \frac{\frac{2xy^2}{x^2-y^2}}{\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}} = \frac{2xy^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{x^2y^2}$

Сокращаем одинаковые множители:

$\frac{b-a}{ab} = \frac{2xy^2}{x^2y^2} = \frac{2}{x}$

Ответ: $\frac{2}{x}$

Упростите выражение (№ 214, 215):

а) $\frac{2}{3-a} + \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2};$

б) $\frac{16-a^2}{16a^2} \cdot \left(\frac{a-4}{a+4} - \frac{a+4}{a-4}\right);$

В) $\left(\frac{2}{a} - \frac{a}{2}\right) \cdot \frac{a}{6a-12};$

Г) $\frac{1-a}{2a} : \left(1 - \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2}\right).$

а) Сначала выполним умножение дробей, предварительно разложив числители и знаменатели на множители. Используем формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{a-2}$
Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+3)$:
$\frac{\sout{(a-2)}(a+2)}{(a-3)\sout{(a+3)}} \cdot \frac{\sout{a+3}}{\sout{a-2}} = \frac{a+2}{a-3}$
Теперь выполним сложение. Заметим, что $3-a = -(a-3)$, поэтому первую дробь можно записать так: $\frac{2}{3-a} = \frac{2}{-(a-3)} = -\frac{2}{a-3}$.
$\frac{2}{3-a} + \frac{a+2}{a-3} = -\frac{2}{a-3} + \frac{a+2}{a-3} = \frac{-2 + a + 2}{a-3} = \frac{a}{a-3}$
Ответ: $\frac{a}{a-3}$.

б) Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a+4)(a-4) = a^2-16$.
$\frac{a-4}{a+4} - \frac{a+4}{a-4} = \frac{(a-4)(a-4)}{(a+4)(a-4)} - \frac{(a+4)(a+4)}{(a+4)(a-4)} = \frac{(a-4)^2 - (a+4)^2}{a^2-16}$
В числителе используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a-4$ и $y=a+4$:
$(a-4)^2 - (a+4)^2 = ((a-4)-(a+4))((a-4)+(a+4)) = (a-4-a-4)(a-4+a+4) = (-8)(2a) = -16a$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{-16a}{a^2-16}$.
Теперь выполним умножение. Заметим, что $16-a^2 = -(a^2-16)$.
$\frac{16-a^2}{16a^2} \cdot \frac{-16a}{a^2-16} = \frac{-(a^2-16)}{16a^2} \cdot \frac{-16a}{a^2-16}$
Сокращаем $(a^2-16)$, $16$ и $a$:
$\frac{-1}{16a^2} \cdot (-16a) = \frac{16a}{16a^2} = \frac{1}{a}$
Ответ: $\frac{1}{a}$.

в) Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2a$.
$\frac{2}{a} - \frac{a}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2a} - \frac{a \cdot a}{2a} = \frac{4-a^2}{2a}$
Теперь выполним умножение. Разложим на множители числитель $4-a^2 = (2-a)(2+a)$ и знаменатель $6a-12 = 6(a-2)$.
$\frac{4-a^2}{2a} \cdot \frac{a}{6a-12} = \frac{(2-a)(2+a)}{2a} \cdot \frac{a}{6(a-2)}$
Заметим, что $2-a = -(a-2)$.
$\frac{-(a-2)(2+a)}{2a} \cdot \frac{a}{6(a-2)}$
Сократим общие множители $(a-2)$ и $a$:
$\frac{-(2+a)}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{-(a+2)}{12} = -\frac{a+2}{12}$
Ответ: $-\frac{a+2}{12}$.

г) Сначала упростим выражение в скобках. Приведем его к общему знаменателю $a^2$.
$1 - \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2} = \frac{a^2}{a^2} - \frac{2a}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{a^2-2a+1}{a^2}$
Числитель является полным квадратом: $a^2-2a+1 = (a-1)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(a-1)^2}{a^2}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
$\frac{1-a}{2a} : \frac{(a-1)^2}{a^2} = \frac{1-a}{2a} \cdot \frac{a^2}{(a-1)^2}$
Заметим, что $1-a = -(a-1)$.
$\frac{-(a-1)}{2a} \cdot \frac{a^2}{(a-1)^2}$
Сократим общие множители $(a-1)$ и $a$:
$\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{a-1} = \frac{-a}{2(a-1)} = -\frac{a}{2(a-1)}$
Ответ: $-\frac{a}{2(a-1)}$.

215 Упростите выражение (№ 214, 215):

a) $\frac{6}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{x + 2}$

б) $\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 4y + 3}$

в) $\frac{1}{x - 5} - \frac{x + 3}{x^2 - x - 20}$

а) $\frac{6}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{x + 2}$

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби $x^2 + x - 2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.
Используя теорему Виета, найдем два числа, сумма которых равна $-1$, а произведение равно $-2$. Эти числа — $1$ и $-2$.
Таким образом, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в выражение:
$\frac{6}{(x - 1)(x + 2)} + \frac{2}{x + 2}$

Общий знаменатель для этих дробей — $(x - 1)(x + 2)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на недостающий множитель $(x - 1)$:
$\frac{6}{(x - 1)(x + 2)} + \frac{2(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{6 + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{6 + 2x - 2}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x + 4}{(x - 1)(x + 2)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2)$, при условии, что $x+2 \ne 0$, то есть $x \ne -2$:
$\frac{2}{x - 1}$

Ответ: $\frac{2}{x - 1}$.

б) $\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 4y + 3}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби $y^2 + 4y + 3$. Для этого решим уравнение $y^2 + 4y + 3 = 0$.
По теореме Виета, найдем два числа, сумма которых равна $-4$, а произведение равно $3$. Эти числа — $-1$ и $-3$.
Следовательно, $y^2 + 4y + 3 = (y - (-1))(y - (-3)) = (y + 1)(y + 3)$.

Подставим разложение в исходное выражение:
$\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{(y + 1)(y + 3)}$

Общим знаменателем является выражение $(y + 1)(y + 3)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(y + 1)$:
$\frac{1(y + 1)}{(y + 3)(y + 1)} + \frac{2}{(y + 1)(y + 3)}$

Сложим числители, оставив знаменатель прежним:
$\frac{y + 1 + 2}{(y + 1)(y + 3)} = \frac{y + 3}{(y + 1)(y + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y + 3)$, при условии, что $y+3 \ne 0$, то есть $y \ne -3$:
$\frac{1}{y + 1}$

Ответ: $\frac{1}{y + 1}$.

в) $\frac{1}{x - 5} - \frac{x + 3}{x^2 - x - 20}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби $x^2 - x - 20$. Решим уравнение $x^2 - x - 20 = 0$.
По теореме Виета, найдем два числа, сумма которых равна $1$, а произведение равно $-20$. Эти числа — $5$ и $-4$.
Значит, $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x - (-4)) = (x - 5)(x + 4)$.

Перепишем выражение с разложенным знаменателем:
$\frac{1}{x - 5} - \frac{x + 3}{(x - 5)(x + 4)}$

Общий знаменатель — $(x - 5)(x + 4)$. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(x + 4)$:
$\frac{1(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)} - \frac{x + 3}{(x - 5)(x + 4)}$

Выполним вычитание дробей. Важно учесть знак минуса перед второй дробью, который относится ко всему ее числителю:
$\frac{(x + 4) - (x + 3)}{(x - 5)(x + 4)} = \frac{x + 4 - x - 3}{(x - 5)(x + 4)}$

Упростим числитель:
$\frac{1}{(x - 5)(x + 4)}$

Выражение упрощено. Знаменатель можно оставить в виде произведения множителей.

Ответ: $\frac{1}{(x - 5)(x + 4)}$.

216 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Известно, что в выражении $x^2 - 2xy - y^2$ переменные $x$ и $y$ связаны соотношением $x + y = 1$. Выясним, каково наименьшее значение этого выражения и при каких значениях $x$ и $y$ оно достигается.

Решение.

Из условия $x + y = 1$ следует, что $y = 1 - x$. Подставив в выражение $x^2 - 2xy - y^2$ вместо $y$ двучлен $1 - x$, получим

$x^2 - 2x(1 - x) - (1 - x)^2 = 2x^2 - 1$.

Наименьшее значение выражения $2x^2 - 1$ равно $-1$, оно достигается при $x = 0$. Значит, и наименьшее значение многочлена $x^2 - 2xy - y^2$, где $x + y = 1$, тоже равно $-1$; оно достигается при $x = 0$ и $y = 1$.

2) Найдите наибольшее значение выражения $y^2 - 2xy - x^2$, если известно, что $x - y = 2$. При каких $x$ и $y$ оно достигается?

1) Для нахождения наименьшего значения выражения $x^2 - 2xy - y^2$ при условии $x + y = 1$, выразим одну переменную через другую. Из условия $x + y = 1$ следует, что $y = 1 - x$.

Подставим это в исходное выражение:

$E(x) = x^2 - 2x(1 - x) - (1 - x)^2$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$E(x) = x^2 - (2x - 2x^2) - (1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x + 2x^2 - 1 + 2x - x^2 = 2x^2 - 1$.

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции $f(x) = 2x^2 - 1$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$), поэтому она имеет точку минимума.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_0$ для функции $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a = 2$, $b = 0$.

$x_0 = -0 / (2 \cdot 2) = 0$.

Таким образом, наименьшее значение выражения достигается при $x = 0$. Найдем это значение:

$E_{min} = 2(0)^2 - 1 = -1$.

Найдем соответствующее значение $y$ из условия $x + y = 1$:

$y = 1 - x = 1 - 0 = 1$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно $-1$ и достигается при $x = 0$, $y = 1$.

2) Необходимо найти наибольшее значение выражения $y^2 - 2xy - x^2$ при условии $x - y = 2$.

Из условия $x - y = 2$ выразим переменную $y$ через $x$: $y = x - 2$.

Подставим полученное выражение для $y$ в исходный многочлен:

$E(x) = (x - 2)^2 - 2x(x - 2) - x^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$E(x) = (x^2 - 4x + 4) - (2x^2 - 4x) - x^2$

$E(x) = x^2 - 4x + 4 - 2x^2 + 4x - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$E(x) = (1 - 2 - 1)x^2 + (-4 + 4)x + 4 = -2x^2 + 4$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения квадратичной функции $f(x) = -2x^2 + 4$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$), поэтому она имеет точку максимума.

Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_0$ находится по той же формуле $x_0 = -b/(2a)$. Для $f(x) = -2x^2 + 4$, имеем $a = -2$ и $b = 0$.

$x_0 = -0 / (2 \cdot (-2)) = 0$.

Следовательно, наибольшее значение выражения достигается при $x = 0$. Найдем это значение:

$E_{max} = -2(0)^2 + 4 = 4$.

Найдем соответствующее значение $y$ из условия $x - y = 2$:

$0 - y = 2 \implies y = -2$.

Ответ: наибольшее значение выражения равно $4$ при $x = 0$ и $y = -2$.