Номер 213, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 213, страница 87.

213 Выполните подстановку $a = \frac{xy}{x + y}$, $b = \frac{xy}{x - y}$ и упростите выражение:

1) $a + b$;

2) $b - a$;

3) $ab$;

4) $\frac{ab}{a + b}$;

5) $\frac{b - a}{ab}$.

Дано: $a = \frac{xy}{x+y}$, $b = \frac{xy}{x-y}$.

1) a + b;

Подставляем значения $a$ и $b$ в выражение:

$a+b = \frac{xy}{x+y} + \frac{xy}{x-y}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$a+b = \frac{xy(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{xy(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{xy(x-y) + xy(x+y)}{x^2 - y^2}$

Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$a+b = \frac{x^2y - xy^2 + x^2y + xy^2}{x^2-y^2} = \frac{2x^2y}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2x^2y}{x^2-y^2}$

2) b - a;

Подставляем значения $a$ и $b$ в выражение:

$b-a = \frac{xy}{x-y} - \frac{xy}{x+y}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$b-a = \frac{xy(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{xy(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy(x+y) - xy(x-y)}{x^2 - y^2}$

Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$b-a = \frac{x^2y + xy^2 - x^2y + xy^2}{x^2-y^2} = \frac{2xy^2}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2xy^2}{x^2-y^2}$

3) ab;

Подставляем значения $a$ и $b$ и перемножаем их:

$ab = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{xy}{x-y} = \frac{(xy)(xy)}{(x+y)(x-y)}$

Упрощаем, используя формулу разности квадратов в знаменателе:

$ab = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

4) $\frac{ab}{a+b}$;

Используем результаты, полученные в пунктах 1 и 3:

$a+b = \frac{2x^2y}{x^2-y^2}$

$ab = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

Подставляем эти выражения в дробь:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}}{\frac{2x^2y}{x^2-y^2}} = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x^2y}$

Сокращаем одинаковые множители:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{x^2y^2}{2x^2y} = \frac{y}{2}$

Ответ: $\frac{y}{2}$

5) $\frac{b-a}{ab}$.

Используем результаты, полученные в пунктах 2 и 3:

$b-a = \frac{2xy^2}{x^2-y^2}$

$ab = \frac{x^2y^2}{x^2-y^2}$

Подставляем эти выражения в дробь:

$\frac{b-a}{ab} = \frac{\frac{2xy^2}{x^2-y^2}}{\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}} = \frac{2xy^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{x^2y^2}$

Сокращаем одинаковые множители:

$\frac{b-a}{ab} = \frac{2xy^2}{x^2y^2} = \frac{2}{x}$

Ответ: $\frac{2}{x}$