Номер 214, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.1 Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 214, страница 87.

Упростите выражение (№ 214, 215):

а) $\frac{2}{3-a} + \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2};$

б) $\frac{16-a^2}{16a^2} \cdot \left(\frac{a-4}{a+4} - \frac{a+4}{a-4}\right);$

В) $\left(\frac{2}{a} - \frac{a}{2}\right) \cdot \frac{a}{6a-12};$

Г) $\frac{1-a}{2a} : \left(1 - \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2}\right).$

а) Сначала выполним умножение дробей, предварительно разложив числители и знаменатели на множители. Используем формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{a-2}$
Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+3)$:
$\frac{\sout{(a-2)}(a+2)}{(a-3)\sout{(a+3)}} \cdot \frac{\sout{a+3}}{\sout{a-2}} = \frac{a+2}{a-3}$
Теперь выполним сложение. Заметим, что $3-a = -(a-3)$, поэтому первую дробь можно записать так: $\frac{2}{3-a} = \frac{2}{-(a-3)} = -\frac{2}{a-3}$.
$\frac{2}{3-a} + \frac{a+2}{a-3} = -\frac{2}{a-3} + \frac{a+2}{a-3} = \frac{-2 + a + 2}{a-3} = \frac{a}{a-3}$
Ответ: $\frac{a}{a-3}$.

б) Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a+4)(a-4) = a^2-16$.
$\frac{a-4}{a+4} - \frac{a+4}{a-4} = \frac{(a-4)(a-4)}{(a+4)(a-4)} - \frac{(a+4)(a+4)}{(a+4)(a-4)} = \frac{(a-4)^2 - (a+4)^2}{a^2-16}$
В числителе используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a-4$ и $y=a+4$:
$(a-4)^2 - (a+4)^2 = ((a-4)-(a+4))((a-4)+(a+4)) = (a-4-a-4)(a-4+a+4) = (-8)(2a) = -16a$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{-16a}{a^2-16}$.
Теперь выполним умножение. Заметим, что $16-a^2 = -(a^2-16)$.
$\frac{16-a^2}{16a^2} \cdot \frac{-16a}{a^2-16} = \frac{-(a^2-16)}{16a^2} \cdot \frac{-16a}{a^2-16}$
Сокращаем $(a^2-16)$, $16$ и $a$:
$\frac{-1}{16a^2} \cdot (-16a) = \frac{16a}{16a^2} = \frac{1}{a}$
Ответ: $\frac{1}{a}$.

в) Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2a$.
$\frac{2}{a} - \frac{a}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2a} - \frac{a \cdot a}{2a} = \frac{4-a^2}{2a}$
Теперь выполним умножение. Разложим на множители числитель $4-a^2 = (2-a)(2+a)$ и знаменатель $6a-12 = 6(a-2)$.
$\frac{4-a^2}{2a} \cdot \frac{a}{6a-12} = \frac{(2-a)(2+a)}{2a} \cdot \frac{a}{6(a-2)}$
Заметим, что $2-a = -(a-2)$.
$\frac{-(a-2)(2+a)}{2a} \cdot \frac{a}{6(a-2)}$
Сократим общие множители $(a-2)$ и $a$:
$\frac{-(2+a)}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{-(a+2)}{12} = -\frac{a+2}{12}$
Ответ: $-\frac{a+2}{12}$.

г) Сначала упростим выражение в скобках. Приведем его к общему знаменателю $a^2$.
$1 - \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2} = \frac{a^2}{a^2} - \frac{2a}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{a^2-2a+1}{a^2}$
Числитель является полным квадратом: $a^2-2a+1 = (a-1)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(a-1)^2}{a^2}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
$\frac{1-a}{2a} : \frac{(a-1)^2}{a^2} = \frac{1-a}{2a} \cdot \frac{a^2}{(a-1)^2}$
Заметим, что $1-a = -(a-1)$.
$\frac{-(a-1)}{2a} \cdot \frac{a^2}{(a-1)^2}$
Сократим общие множители $(a-1)$ и $a$:
$\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{a-1} = \frac{-a}{2(a-1)} = -\frac{a}{2(a-1)}$
Ответ: $-\frac{a}{2(a-1)}$.