Страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Докажите тождество (№ 223–225);

225 а) $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2ab}{a^2 - b^2}$;

б) $(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{xy}) \cdot \frac{xy^2}{x + y} = 1 + \frac{y}{x}$;

в) $\frac{x + y}{x^2 - 2xy + y^2} - \frac{1}{2x - 2y} = \frac{x + 3y}{2(x - y)^2}$;

г) $\frac{1}{ab - b^2} - \frac{1}{a^2 + ab} - \frac{2}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{ab(a + b)}$.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:

$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$

Полученное выражение равно правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$.

б)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{xy} = \frac{y^2}{x^2y^2} + \frac{x^2}{x^2y^2} + \frac{2xy}{x^2y^2} = \frac{y^2+x^2+2xy}{x^2y^2}$

Числитель является полным квадратом суммы: $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(x+y)^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{(x+y)^{\cancel{2}}}{\cancel{x^2}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}y^{\cancel{2}}}{\cancel{x+y}} = \frac{x+y}{x}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: $(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{xy}) \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{y^2+x^2+2xy}{x^2y^2} \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{(x+y)^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy^2}{x+y} = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$.

в)

Преобразуем левую часть тождества. Разложим знаменатели на множители:

$x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$

$2x-2y = 2(x-y)$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(x-y)^2$:

$\frac{x+y}{(x-y)^2} - \frac{1}{2(x-y)} = \frac{2(x+y)}{2(x-y)^2} - \frac{1 \cdot (x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2(x+y) - (x-y)}{2(x-y)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2x+2y-x+y}{2(x-y)^2} = \frac{(2x-x) + (2y+y)}{2(x-y)^2} = \frac{x+3y}{2(x-y)^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{x+y}{x^2-2xy+y^2} - \frac{1}{2x-2y} = \frac{x+y}{(x-y)^2} - \frac{1}{2(x-y)} = \frac{2(x+y)-(x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2x+2y-x+y}{2(x-y)^2} = \frac{x+3y}{2(x-y)^2}$.

г)

Преобразуем левую часть. Разложим знаменатели на множители:

$ab-b^2 = b(a-b)$

$a^2+ab = a(a+b)$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

Общий знаменатель для этих дробей: $ab(a-b)(a+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{b(a-b)} - \frac{1}{a(a+b)} - \frac{2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a+b)}{ab(a-b)(a+b)} - \frac{b(a-b)}{ab(a-b)(a+b)} - \frac{2ab}{ab(a-b)(a+b)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{a(a+b) - b(a-b) - 2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - (ab-b^2) - 2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-ab+b^2-2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a-b)(a+b)}$

Числитель является полным квадратом разности: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

$\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{ab(a+b)}$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{ab-b^2} - \frac{1}{a^2+ab} - \frac{2}{a^2-b^2} = \frac{a(a+b) - b(a-b) - 2ab}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{ab(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{ab(a+b)}$.

226 С помощью числовой подстановки докажите, что равенство тождеством не является:

а) $(x + 1)^2 = x^2 + 1;$

б) $x^2 - x - 6 = (x - 2)(x + 3);$

в) $(x - 5)(3 - x) = -(5 - x)(x - 3);$

г) $(3 - x)^2 = -(x - 3)^2.$

а) Для того чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором оно не выполняется. Проверим равенство $(x + 1)^2 = x^2 + 1$ при $x = 1$.
Подставим значение $x = 1$ в левую и правую части равенства.
Левая часть: $(1 + 1)^2 = 2^2 = 4$.
Правая часть: $1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Так как левая часть не равна правой ($4 \neq 2$), данное равенство не является тождеством.
Ответ: При $x = 1$ левая часть равенства равна 4, а правая — 2. Поскольку $4 \neq 2$, равенство не является тождеством.

б) Проверим равенство $x^2 - x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ с помощью числовой подстановки. Возьмем $x = 1$.
Подставим значение $x = 1$ в обе части равенства.
Левая часть: $1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6$.
Правая часть: $(1 - 2)(1 + 3) = (-1) \cdot 4 = -4$.
Так как левая часть не равна правой ($-6 \neq -4$), данное равенство не является тождеством.
Ответ: При $x = 1$ левая часть равенства равна -6, а правая — -4. Поскольку $-6 \neq -4$, равенство не является тождеством.

в) Проверим равенство $(x - 5)(3 - x) = -(5 - x)(x - 3)$ при $x = 0$.
Подставим значение $x = 0$ в обе части.
Левая часть: $(0 - 5)(3 - 0) = (-5) \cdot 3 = -15$.
Правая часть: $-(5 - 0)(0 - 3) = -(5) \cdot (-3) = -(-15) = 15$.
Так как левая часть не равна правой ($-15 \neq 15$), данное равенство не является тождеством.
Ответ: При $x = 0$ левая часть равенства равна -15, а правая — 15. Поскольку $-15 \neq 15$, равенство не является тождеством.

г) Проверим равенство $(3 - x)^2 = -(x - 3)^2$. Известно, что $(a-b)^2 = (b-a)^2$, поэтому $(3-x)^2 = (x-3)^2$. Равенство можно переписать как $(x-3)^2 = -(x-3)^2$. Это верно только если $(x-3)^2 = 0$, то есть при $x=3$. Для любого другого значения $x$ равенство не выполняется. Выберем для проверки $x = 0$.
Подставим значение $x = 0$ в обе части.
Левая часть: $(3 - 0)^2 = 3^2 = 9$.
Правая часть: $-(0 - 3)^2 = -(-3)^2 = -9$.
Так как левая часть не равна правой ($9 \neq -9$), данное равенство не является тождеством.
Ответ: При $x = 0$ левая часть равенства равна 9, а правая — -9. Поскольку $9 \neq -9$, равенство не является тождеством.

227 Докажите тождество $\frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - a)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0.$

Совет. Преобразуйте левую часть равенства так, чтобы в знаменатели входили множители $a - b$, $b - c$ и $a - c$ (а не противоположные им).

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Следуя совету, приведем знаменатели дробей к общему виду, используя множители $(a-b)$, $(b-c)$ и $(a-c)$.

Левая часть равенства имеет вид:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$

Преобразуем знаменатели второй и третьей дробей. Для этого воспользуемся свойствами разности: $(x-y) = -(y-x)$.

Для второй дроби:

$$ \frac{1}{(b-a)(b-c)} = \frac{1}{-(a-b)(b-c)} = -\frac{1}{(a-b)(b-c)} $$

Для третьей дроби:

$$ \frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Подставим преобразованные дроби обратно в исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(a-b)(b-c)(a-c)$. Домножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:

$$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{1 \cdot (a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $$

Запишем все под одной дробной чертой:

$$ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(a-c)} = 0 $$

В результате преобразования левая часть равенства обратилась в 0, что соответствует правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

228 Докажите тождество $\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1$.

Совет. Сначала сложите первые две дроби.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся советом и сложим первые две дроби:

$\frac{bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{ac}{(b - a)(b - c)}$

Чтобы упростить выражение, приведем знаменатели к общему виду. Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Подставим это во вторую дробь:

$\frac{bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{ac}{-(a - b)(b - c)} = \frac{bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{ac}{(a - b)(b - c)}$

Теперь приведем эти две дроби к общему знаменателю, которым является выражение $(a - b)(a - c)(b - c)$:

$\frac{bc(b - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} - \frac{ac(a - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \frac{bc(b - c) - ac(a - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его, сгруппировав слагаемые:

$bc(b - c) - ac(a - c) = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2$

Сгруппируем слагаемые: $(ac^2 - bc^2) - (a^2c - b^2c) = c^2(a - b) - c(a^2 - b^2)$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получим:

$c^2(a - b) - c(a - b)(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(c^2 - c(a + b)) = (a - b)(c^2 - ac - bc) = -c(a - b)(a + b - c)$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь и сократим:

$\frac{-c(a - b)(a + b - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \frac{-c(a + b - c)}{(a - c)(b - c)}$

Теперь к полученному результату прибавим третью дробь из исходного тождества:

$\frac{-c(a + b - c)}{(a - c)(b - c)} + \frac{ab}{(c - a)(c - b)}$

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $(c - a)(c - b) = (-(a - c))(-(b - c)) = (a - c)(b - c)$. Тогда сумма примет вид:

$\frac{-c(a + b - c)}{(a - c)(b - c)} + \frac{ab}{(a - c)(b - c)}$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{-c(a + b - c) + ab}{(a - c)(b - c)} = \frac{-ac - bc + c^2 + ab}{(a - c)(b - c)}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и разложим его на множители:

$(ab - ac) - (bc - c^2) = a(b - c) - c(b - c) = (a - c)(b - c)$

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a - c)(b - c)}{(a - c)(b - c)} = 1$

Мы показали, что левая часть тождества равна 1, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

229 Докажите тождество:

a) $\frac{(1 + \frac{a - b}{a + b})(1 + \frac{b - c}{b + c})(1 + \frac{c - a}{c + a})}{(1 - \frac{a - b}{a + b})(1 - \frac{b - c}{b + c})(1 - \frac{c - a}{c + a})} = 1;$

б) $\frac{\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \cdot \frac{bc + ac + ab}{\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab}} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения. Для этого упростим поочередно числитель и знаменатель дроби.

1. Упростим числитель. Выполним сложение в каждой скобке, приводя к общему знаменателю:

$1 + \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b}{a + b} + \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b + a - b}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$

$1 + \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c}{b + c} + \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c + b - c}{b + c} = \frac{2b}{b + c}$

$1 + \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a}{c + a} + \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a + c - a}{c + a} = \frac{2c}{c + a}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{2a}{a + b} \cdot \frac{2b}{b + c} \cdot \frac{2c}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

2. Упростим знаменатель. Выполним вычитание в каждой скобке:

$1 - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b}{a + b} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b - (a - b)}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{a + b} = \frac{2b}{a + b}$

$1 - \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c}{b + c} - \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c - (b - c)}{b + c} = \frac{b + c - b + c}{b + c} = \frac{2c}{b + c}$

$1 - \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a}{c + a} - \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a - (c - a)}{c + a} = \frac{c + a - c + a}{c + a} = \frac{2a}{c + a}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{2b}{a + b} \cdot \frac{2c}{b + c} \cdot \frac{2a}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}}{\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}} = 1$

Левая часть выражения равна 1, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения, упростив каждый из двух множителей.

1. Упростим первый множитель $ \frac{\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} $.

Преобразуем его числитель, приведя дроби к общему знаменателю $abc$:

$\frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab} = \frac{a^2}{abc} + \frac{b^2}{abc} + \frac{c^2}{abc} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}$

Преобразуем его знаменатель, также приведя к общему знаменателю $abc$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab + bc + ac}{abc}$

Тогда первый множитель равен:

$\frac{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}}{\frac{ab + bc + ac}{abc}} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ac}$

2. Упростим второй множитель $ \frac{\frac{bc + ac + ab}{abc}}{\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab}} $.

Числитель $ \frac{bc + ac + ab}{abc} $ уже в упрощенном виде.

Преобразуем знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $abc$:

$\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} = \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{c}{abc} = \frac{a + b + c}{abc}$

Тогда второй множитель равен:

$\frac{\frac{ab + bc + ac}{abc}}{\frac{a + b + c}{abc}} = \frac{ab + bc + ac}{a + b + c}$

3. Перемножим упрощенные множители:

$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ac} \cdot \frac{ab + bc + ac}{a + b + c}$

Сократим общий множитель $(ab + bc + ac)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

230 1) Докажите тождество $ \frac{(1-x)^2}{x-1} = x - 1 $. Какова область определения его левой части? правой части?

2) Постройте графики функций $ y = x - 1 $ и $ y = \frac{(1-x)^2}{x-1} $.

1) Для доказательства тождества $\frac{(1-x)^2}{x-1} = x-1$ преобразуем его левую часть. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для левой части. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Воспользуемся свойством квадрата выражения, согласно которому $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Применим это свойство к числителю дроби в левой части:

$(1-x)^2 = (-(x-1))^2 = (x-1)^2$.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в левую часть тождества:

$\frac{(1-x)^2}{x-1} = \frac{(x-1)^2}{x-1}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\frac{(x-1) \cdot (x-1)}{x-1} = x-1$

В результате преобразования мы получили выражение, идентичное правой части тождества. Таким образом, тождество верно для всех $x$ из области определения левой части.

Теперь найдем области определения левой и правой частей тождества.

Область определения левой части $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$: выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме тех, при которых знаменатель $x-1$ равен нулю. То есть, $x \neq 1$. В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Область определения правой части $y = x-1$: это линейное выражение (многочлен), которое определено для любых действительных чисел $x$. В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования левой части к правой на ее области определения. Область определения левой части: $x \neq 1$. Область определения правой части: все действительные числа.

2) Построим графики функций $y = x - 1$ и $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$.

График функции $y = x - 1$:

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек, принадлежащих ей. Если $x=0$, то $y = 0 - 1 = -1$; получаем точку $(0, -1)$. Если $y=0$, то $x-1=0$, откуда $x=1$; получаем точку $(1, 0)$. График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

График функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$:

Как было показано в пункте 1, выражение $\frac{(1-x)^2}{x-1}$ тождественно равно $x-1$ при условии $x \neq 1$. Это означает, что график функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$ полностью совпадает с графиком функции $y = x - 1$ за исключением одной точки. Функция не определена при $x=1$. На графике прямой $y=x-1$ точке с абсциссой $x=1$ соответствует ордината $y=1-1=0$. Следовательно, точка $(1, 0)$ не принадлежит графику функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$. На графике эта точка изображается как "выколотая" (в виде пустого кружка).

Ответ: График функции $y = x - 1$ — это прямая линия, проходящая, например, через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$. График функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$ — это та же прямая линия, но с выколотой точкой $(1, 0)$.

231 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$;

в) $y = \frac{x - 1}{x^2 - x}$;

г) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Далее упростим выражение функции. Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$

При условии, что $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 2)$. В результате получаем линейную функцию:

$y = x - 2$

Графиком данной функции является прямая $y = x - 2$, но с одной особенностью. Так как исходная функция не определена в точке $x = -2$, на графике прямой будет "выколотая" точка. Чтобы найти ее координаты, подставим $x = -2$ в уравнение упрощенной функции:

$y = -2 - 2 = -4$

Таким образом, график представляет собой прямую, проходящую, например, через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$, с выколотой точкой в $(-2, -4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$.

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, то есть $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Упростим функцию. Для этого разложим на множители квадратный трехчлен в числителе $x^2 - 4x - 5$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x - (-1)) = (x - 5)(x + 1)$.

Подставим разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 5)(x + 1)}{x + 1}$

При $x \neq -1$ сокращаем дробь на $(x + 1)$ и получаем линейную функцию:

$y = x - 5$

Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой при $x = -1$. Найдем ординату этой точки:

$y = -1 - 5 = -6$

Следовательно, из графика прямой $y = x - 5$ нужно исключить точку с координатами $(-1, -6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(-1, -6)$.

в)

Дана функция $y = \frac{x - 1}{x^2 - x}$.

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - x \neq 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Упростим функцию, разложив знаменатель на множители:

$y = \frac{x - 1}{x(x - 1)}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$. Получаем функцию:

$y = \frac{1}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Исходная функция не определена в точках $x = 0$ и $x = 1$.

Ограничение $x \neq 0$ соответствует вертикальной асимптоте $x = 0$ для гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Ограничение $x \neq 1$ означает, что на графике гиперболы будет выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x = 1$ в упрощенное уравнение:

$y = \frac{1}{1} = 1$

Координаты выколотой точки: $(1, 1)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$.

Найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, или $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение. Используем формулу разности квадратов для числителя: $x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}$

При $x \neq 1$ и $x \neq -1$ мы можем сократить дробь на $(x^2 - 1)$. Получаем квадратичную функцию:

$y = x^2 + 1$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат, с вершиной в точке $(0, 1)$.

На графике этой параболы должны быть две выколотые точки, соответствующие ограничениям $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Найдем их координаты:

При $x = 1$: $y = 1^2 + 1 = 2$. Координаты первой выколотой точки $(1, 2)$.

При $x = -1$: $y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Координаты второй выколотой точки $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

232ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Для каждого из выражений

$A_1 = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$, $A_2 = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$, $A_3 = \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}$

найдите тождественно равное среди выражений

$B_1 = 2 + \frac{4b^2}{a^2-b^2}$, $B_2 = 1 + \frac{4ab}{a^2-2ab+b^2}$, $B_3 = 2 - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$

Запишите и докажите соответствующие тождества.

Для того чтобы найти соответствия между выражениями из группы А и группы B, мы последовательно упростим выражения из группы B и сравним их с выражениями из группы A.

Для выражения A₁

Выражение $A_1 = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$.Проверим выражение $B_2 = 1 + \frac{4ab}{a^2-2ab+b^2}$.
Знаменатель дроби в выражении $B_2$ является полным квадратом разности: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
$B_2 = 1 + \frac{4ab}{(a-b)^2}$
Приведем к общему знаменателю $(a-b)^2$:
$B_2 = \frac{(a-b)^2}{(a-b)^2} + \frac{4ab}{(a-b)^2} = \frac{(a-b)^2 + 4ab}{(a-b)^2}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$B_2 = \frac{a^2-2ab+b^2+4ab}{(a-b)^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{(a-b)^2}$
Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, $B_2 = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$.
Следовательно, выражение $A_1$ тождественно равно выражению $B_2$.

Ответ: $A_1 = B_2$: $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 = 1 + \frac{4ab}{a^2-2ab+b^2}$.

Для выражения A₂

Выражение $A_2 = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$.Проверим выражение $B_3 = 2 - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$.
Приведем к общему знаменателю $a^2+b^2$:
$B_3 = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{2(a^2+b^2) - (a-b)^2}{a^2+b^2}$
Раскроем скобки в числителе: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$B_3 = \frac{2a^2+2b^2 - (a^2-2ab+b^2)}{a^2+b^2} = \frac{2a^2+2b^2-a^2+2ab-b^2}{a^2+b^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$B_3 = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2+b^2}$
Числитель является квадратом суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, $B_3 = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$.
Следовательно, выражение $A_2$ тождественно равно выражению $B_3$.

Ответ: $A_2 = B_3$: $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} = 2 - \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$.

Для выражения A₃

Выражение $A_3 = \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}$.Проверим выражение $B_1 = 2 + \frac{4b^2}{a^2-b^2}$.
Для доказательства тождества преобразуем обе части.
Преобразуем левую часть ($A_3$), приведя дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$A_3 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$.
Теперь преобразуем правую часть ($B_1$), приведя к общему знаменателю $a^2-b^2$:
$B_1 = \frac{2(a^2-b^2)}{a^2-b^2} + \frac{4b^2}{a^2-b^2} = \frac{2a^2-2b^2+4b^2}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}$.
Так как преобразованные выражения для $A_3$ и $B_1$ равны, то и исходные выражения тождественно равны.

Ответ: $A_3 = B_1$: $\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = 2 + \frac{4b^2}{a^2-b^2}$.