Номер 230, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 230, страница 91.

230 1) Докажите тождество $ \frac{(1-x)^2}{x-1} = x - 1 $. Какова область определения его левой части? правой части?

2) Постройте графики функций $ y = x - 1 $ и $ y = \frac{(1-x)^2}{x-1} $.

1) Для доказательства тождества $\frac{(1-x)^2}{x-1} = x-1$ преобразуем его левую часть. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для левой части. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Воспользуемся свойством квадрата выражения, согласно которому $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Применим это свойство к числителю дроби в левой части:

$(1-x)^2 = (-(x-1))^2 = (x-1)^2$.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в левую часть тождества:

$\frac{(1-x)^2}{x-1} = \frac{(x-1)^2}{x-1}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\frac{(x-1) \cdot (x-1)}{x-1} = x-1$

В результате преобразования мы получили выражение, идентичное правой части тождества. Таким образом, тождество верно для всех $x$ из области определения левой части.

Теперь найдем области определения левой и правой частей тождества.

Область определения левой части $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$: выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме тех, при которых знаменатель $x-1$ равен нулю. То есть, $x \neq 1$. В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Область определения правой части $y = x-1$: это линейное выражение (многочлен), которое определено для любых действительных чисел $x$. В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования левой части к правой на ее области определения. Область определения левой части: $x \neq 1$. Область определения правой части: все действительные числа.

2) Построим графики функций $y = x - 1$ и $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$.

График функции $y = x - 1$:

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек, принадлежащих ей. Если $x=0$, то $y = 0 - 1 = -1$; получаем точку $(0, -1)$. Если $y=0$, то $x-1=0$, откуда $x=1$; получаем точку $(1, 0)$. График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

График функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$:

Как было показано в пункте 1, выражение $\frac{(1-x)^2}{x-1}$ тождественно равно $x-1$ при условии $x \neq 1$. Это означает, что график функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$ полностью совпадает с графиком функции $y = x - 1$ за исключением одной точки. Функция не определена при $x=1$. На графике прямой $y=x-1$ точке с абсциссой $x=1$ соответствует ордината $y=1-1=0$. Следовательно, точка $(1, 0)$ не принадлежит графику функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$. На графике эта точка изображается как "выколотая" (в виде пустого кружка).

Ответ: График функции $y = x - 1$ — это прямая линия, проходящая, например, через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$. График функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$ — это та же прямая линия, но с выколотой точкой $(1, 0)$.