Номер 227, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.2 Тождество. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 227, страница 91.

227 Докажите тождество $\frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - a)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0.$

Совет. Преобразуйте левую часть равенства так, чтобы в знаменатели входили множители $a - b$, $b - c$ и $a - c$ (а не противоположные им).

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Следуя совету, приведем знаменатели дробей к общему виду, используя множители $(a-b)$, $(b-c)$ и $(a-c)$.

Левая часть равенства имеет вид:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$

Преобразуем знаменатели второй и третьей дробей. Для этого воспользуемся свойствами разности: $(x-y) = -(y-x)$.

Для второй дроби:

$$ \frac{1}{(b-a)(b-c)} = \frac{1}{-(a-b)(b-c)} = -\frac{1}{(a-b)(b-c)} $$

Для третьей дроби:

$$ \frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Подставим преобразованные дроби обратно в исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(a-b)(b-c)(a-c)$. Домножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:

$$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{1 \cdot (a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $$

Запишем все под одной дробной чертой:

$$ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(a-c)} = 0 $$

В результате преобразования левая часть равенства обратилась в 0, что соответствует правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.