Номер 228, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Глава 3. Уравнения и системы уравнений. 3.2 Тождество - номер 228, страница 91.

Условие.

228 Докажите тождество $\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1$.

Совет. Сначала сложите первые две дроби.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся советом и сложим первые две дроби:

$\frac{bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{ac}{(b - a)(b - c)}$

Чтобы упростить выражение, приведем знаменатели к общему виду. Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Подставим это во вторую дробь:

$\frac{bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{ac}{-(a - b)(b - c)} = \frac{bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{ac}{(a - b)(b - c)}$

Теперь приведем эти две дроби к общему знаменателю, которым является выражение $(a - b)(a - c)(b - c)$:

$\frac{bc(b - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} - \frac{ac(a - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \frac{bc(b - c) - ac(a - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его, сгруппировав слагаемые:

$bc(b - c) - ac(a - c) = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2$

Сгруппируем слагаемые: $(ac^2 - bc^2) - (a^2c - b^2c) = c^2(a - b) - c(a^2 - b^2)$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получим:

$c^2(a - b) - c(a - b)(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(c^2 - c(a + b)) = (a - b)(c^2 - ac - bc) = -c(a - b)(a + b - c)$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь и сократим:

$\frac{-c(a - b)(a + b - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} = \frac{-c(a + b - c)}{(a - c)(b - c)}$

Теперь к полученному результату прибавим третью дробь из исходного тождества:

$\frac{-c(a + b - c)}{(a - c)(b - c)} + \frac{ab}{(c - a)(c - b)}$

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $(c - a)(c - b) = (-(a - c))(-(b - c)) = (a - c)(b - c)$. Тогда сумма примет вид:

$\frac{-c(a + b - c)}{(a - c)(b - c)} + \frac{ab}{(a - c)(b - c)}$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{-c(a + b - c) + ab}{(a - c)(b - c)} = \frac{-ac - bc + c^2 + ab}{(a - c)(b - c)}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и разложим его на множители:

$(ab - ac) - (bc - c^2) = a(b - c) - c(b - c) = (a - c)(b - c)$

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a - c)(b - c)}{(a - c)(b - c)} = 1$

Мы показали, что левая часть тождества равна 1, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.