Номер 234, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 234, страница 94.

234 Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен стандартного вида. Преобразуйте уравнение в равносильное уравнение указанного вида и определите его степень:

a) $(x + 3)(x - 7) = 2(x - 13)$;

б) $(x - 5)(x + 4) = (x - 2)^2$;

в) $(x^2 - 3x)(x + 3)^2 = 0$;

г) $\frac{x + 8}{8} - x = \frac{1 - x^2}{4}$.

Найдите в перечне уравнения второй степени и решите их.

а) $(x + 3)(x - 7) = 2(x - 13)$

Преобразуем уравнение, раскрыв скобки в обеих частях:

$x^2 - 7x + 3x - 21 = 2x - 26$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 21 = 2x - 26$

Перенесем все члены в левую часть и приравняем к нулю, чтобы получить уравнение вида $P(x) = 0$:

$x^2 - 4x - 21 - 2x + 26 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Это уравнение равносильно исходному. Наибольшая степень переменной $x$ равна 2, следовательно, это уравнение второй степени.

Ответ: $x^2 - 6x + 5 = 0$, степень уравнения – 2.

б) $(x - 5)(x + 4) = (x - 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 4x - 5x - 20 = x^2 - 4x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x - 20 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 20 - x^2 + 4x - 4 = 0$

$(x^2 - x^2) + (-x + 4x) + (-20 - 4) = 0$

$3x - 24 = 0$

Наибольшая степень переменной $x$ равна 1, следовательно, это уравнение первой степени.

Ответ: $3x - 24 = 0$, степень уравнения – 1.

в) $(x^2 - 3x)(x + 3)^2 = 0$

Раскроем скобки, чтобы привести многочлен к стандартному виду:

$(x^2 - 3x)(x^2 + 6x + 9) = 0$

$x^2(x^2 + 6x + 9) - 3x(x^2 + 6x + 9) = 0$

$x^4 + 6x^3 + 9x^2 - 3x^3 - 18x^2 - 27x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 + (6x^3 - 3x^3) + (9x^2 - 18x^2) - 27x = 0$

$x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 27x = 0$

Наибольшая степень переменной $x$ равна 4, следовательно, это уравнение четвертой степени.

Ответ: $x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 27x = 0$, степень уравнения – 4.

г) $\frac{x + 8}{8} - x = \frac{1 - x^2}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \left(\frac{x + 8}{8} - x\right) = 8 \cdot \frac{1 - x^2}{4}$

$(x + 8) - 8x = 2(1 - x^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-7x + 8 = 2 - 2x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 7x + 8 - 2 = 0$

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

Наибольшая степень переменной $x$ равна 2, следовательно, это уравнение второй степени.

Ответ: $2x^2 - 7x + 6 = 0$, степень уравнения – 2.

---

Уравнениями второй степени являются уравнения а) и г). Решим их.

Решение уравнения а)

Имеем уравнение: $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1, b=-6, c=5$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = 1$.

Решение уравнения г)

Имеем уравнение: $2x^2 - 7x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2, b=-7, c=6$.

Найдем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 1.5$.