Номер 241, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 241, страница 95.

241 Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью $x$:

a) $f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20;$

б) $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 8x - 48.$

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью $x$, необходимо приравнять значение функции к нулю, так как на оси $x$ ордината $y$ всегда равна нулю.

Задана функция $f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20$.

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0$

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 5x^2) - (4x - 20) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x - 5)$:

$(x - 5)(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$

2) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_2 = 2, x_3 = -2$

Мы нашли абсциссы точек пересечения: -2, 2 и 5. Ординаты этих точек равны 0.

Следовательно, координаты точек пересечения: $(-2, 0)$, $(2, 0)$, $(5, 0)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(2, 0)$, $(5, 0)$.

б)

Задана функция $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 8x - 48$.

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$-x^3 + 6x^2 + 8x - 48 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на -1:

$x^3 - 6x^2 - 8x + 48 = 0$

Снова применим метод группировки:

$(x^3 - 6x^2) - (8x - 48) = 0$

Вынесем общие множители:

$x^2(x - 6) - 8(x - 6) = 0$

Вынесем за скобку общий множитель $(x - 6)$:

$(x - 6)(x^2 - 8) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6$

2) $x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} \Rightarrow x_{2,3} = \pm2\sqrt{2}$

Абсциссы точек пересечения: $6$, $-2\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$. Ординаты этих точек равны 0.

Следовательно, координаты точек пересечения: $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$, $(6, 0)$.

Ответ: $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$, $(6, 0)$.