Номер 247, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 247, страница 95.

Подберите подходящую замену и решите уравнение (№ 245–247):

247 а) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0;$

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0;$

в) $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12;$

г) $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5.$

а) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0$

Введем новую переменную (сделаем замену). Пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-24$. Легко подобрать корни:

$t_1 = -6$

$t_2 = 4$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = -6$:

$x^2 + 3x = -6$

$x^2 + 3x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

2. При $t = 4$:

$x^2 + 3x = 4$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни этого уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Ответ: $-4; 1$.

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = x^2 + x + 1$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни:

$t_1 = -3$

$t_2 = 1$

Выполним обратную замену.

1. При $t = -3$:

$x^2 + x + 1 = -3$

$x^2 + x + 4 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Поскольку $D < 0$, действительных корней нет.

2. При $t = 1$:

$x^2 + x + 1 = 1$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 0$.

в) $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12$

Сделаем замену: пусть $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид:

$t(t - 8) = -12$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 8$ и $t_1 \cdot t_2 = 12$. Корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 6$

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1. При $t = 2$:

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

2. При $t = 6$:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_3 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$x_4 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Ответ: $-3; -2; 1; 2$.

г) $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5$

Сделаем замену: пусть $t = x^2 - 4x$. Уравнение примет вид:

$(t + 2)(t - 2) = 5$

Используем формулу разности квадратов:

$t^2 - 4 = 5$

$t^2 = 9$

Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

1. При $t = 3$:

$x^2 - 4x = 3$

$x^2 - 4x - 3 = 0$

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

2. При $t = -3$:

$x^2 - 4x = -3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = 3$. Корни:

$x_3 = 1$

$x_4 = 3$

Ответ: $1; 3; 2 - \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}$.