Номер 242, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 242, страница 95.

242 Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0;$

б) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0;$

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0;$

г) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0;$

д) $x^4 + 3x^2 = 0;$

е) $x^4 - 9x^2 = 0.$

а)

Дано биквадратное уравнение $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$.
Это уравнение решается введением новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Можно также найти корни через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$
$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$
$t_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2$
$t_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$
Оба значения $t$ положительны, поэтому они нам подходят.
Выполним обратную замену:
1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$
2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$
Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm2$.

б)

Дано биквадратное уравнение $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $4t^2 + 3t - 1 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$
$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 5}{8}$
$t_1 = \frac{-3 - 5}{8} = -1$
$t_2 = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Используем второй корень $t_2 = \frac{1}{4}$.
Выполним обратную замену: $x^2 = \frac{1}{4}$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

в)

Дано биквадратное уравнение $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем уравнение: $2t^2 + 9t + 4 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
$t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 7}{4}$
$t_1 = \frac{-9 - 7}{4} = -4$
$t_2 = \frac{-9 + 7}{4} = -\frac{1}{2}$
Оба полученных значения для $t$ отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$.
Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет корней.

г)

Дано биквадратное уравнение $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$.
Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности: $(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = (x^2 - 3)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x^2 - 3)^2 = 0$.
Отсюда $x^2 - 3 = 0$, то есть $x^2 = 3$.
$x = \pm\sqrt{3}$.
(Этот же результат можно получить стандартной заменой $t = x^2$, решив уравнение $t^2 - 6t + 9 = 0$, которое дает единственный корень $t = 3$).
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

д)

Дано неполное биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1. $x^2 = 0 \implies x = 0$.
2. $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $0$.

е)

Дано неполное биквадратное уравнение $x^4 - 9x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 9) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1. $x^2 = 0 \implies x = 0$.
2. $x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $-3; 0; 3$.