Номер 246, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.3 Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 246, страница 95.

Подберите подходящую замену и решите уравнение (№ 245-247):

246 a) $(x^2 + 5)^2 - 11(x^2 + 5) + 28 = 0;$

б) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0.$

а) $(x^2 + 5)^2 - 11(x^2 + 5) + 28 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2 + 5)$. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^2 + 5$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 11t + 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 11$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 28$. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 7$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$ и найти $x$.

Случай 1: $t = 4$.

$x^2 + 5 = 4$

$x^2 = 4 - 5$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $t = 7$.

$x^2 + 5 = 7$

$x^2 = 7 - 5$

$x^2 = 2$

Из этого уравнения находим два корня: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm\sqrt{2}$.

б) $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$

Это уравнение также решается с помощью введения новой переменной. Заметим, что выражение $(2x^2 + 3)$ повторяется.

Сделаем замену: пусть $y = 2x^2 + 3$. Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 12y + 11 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета:

Сумма корней $y_1 + y_2 = 12$.

Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = 11$.

Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

Случай 1: $y = 1$.

$2x^2 + 3 = 1$

$2x^2 = 1 - 3$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $y = 11$.

$2x^2 + 3 = 11$

$2x^2 = 11 - 3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $\pm 2$.