Номер 253, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 253, страница 98.

Решите уравнение (№ 250-253):

253 а) $ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1; $

б) $ \frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t}; $

в) $ \frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}; $

г) $ \frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3; $

д) $ \frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4; $

е) $ \frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2}. $

а) $\frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Приведем все слагаемые в уравнении к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{5(x+1)}{x(x+1)} = \frac{8x}{x(x+1)} + \frac{x(x+1)}{x(x+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+1)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$5(x+1) = 8x + x(x+1)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$5x + 5 = 8x + x^2 + x$

$5x + 5 = x^2 + 9x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 9x - 5x - 5 = 0$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -5$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; -5$.

б) $\frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t}$

ОДЗ: $t-6 \neq 0$ и $t \neq 0$, следовательно, $t \neq 6$ и $t \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $t(t-6)$:

$1 \cdot t + 3 \cdot t(t-6) = 10 \cdot (t-6)$

Раскроем скобки и упростим:

$t + 3t^2 - 18t = 10t - 60$

$3t^2 - 17t = 10t - 60$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$3t^2 - 17t - 10t + 60 = 0$

$3t^2 - 27t + 60 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 9$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 20$. Корни уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $4; 5$.

в) $\frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $y-2 \neq 0$, $y \neq 0$. Следовательно, $y \neq 2$ и $y \neq 0$.

Общий знаменатель $2y(y-2)$. Умножим на него обе части уравнения:

$4 \cdot 2y - 3 \cdot 2(y-2) = 1 \cdot y(y-2)$

Раскроем скобки:

$8y - 6(y-2) = y^2 - 2y$

$8y - 6y + 12 = y^2 - 2y$

$2y + 12 = y^2 - 2y$

Приведем к стандартному квадратному виду:

$y^2 - 2y - 2y - 12 = 0$

$y^2 - 4y - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 4$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = -12$. Корни уравнения: $y_1 = 6$, $y_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -2$.

г) $\frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $2x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -\frac{3}{2}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(2x+3)$:

$4(2x+3) + 7x = 3x(2x+3)$

Раскроем скобки и упростим:

$8x + 12 + 7x = 6x^2 + 9x$

$15x + 12 = 6x^2 + 9x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$6x^2 + 9x - 15x - 12 = 0$

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; -1$.

д) $\frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4$

ОДЗ: $y-1 \neq 0$ и $y+1 \neq 0$, следовательно, $y \neq 1$ и $y \neq -1$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(y-1)(y+1)$:

$y(y+1) + 6(y-1) = 4(y-1)(y+1)$

Раскроем скобки:

$y^2 + y + 6y - 6 = 4(y^2 - 1)$

$y^2 + 7y - 6 = 4y^2 - 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4y^2 - y^2 - 7y - 4 + 6 = 0$

$3y^2 - 7y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$. $\sqrt{D} = 5$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7+5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7-5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; \frac{1}{3}$.

е) $\frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2}$

ОДЗ: $z-2 \neq 0$ и $z+2 \neq 0$, следовательно, $z \neq 2$ и $z \neq -2$.

Перенесем дроби в одну сторону, а число в другую:

$\frac{8}{z-2} - \frac{8}{z+2} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(z-2)(z+2)$:

$\frac{8(z+2) - 8(z-2)}{(z-2)(z+2)} = 1$

$\frac{8z + 16 - 8z + 16}{z^2 - 4} = 1$

$\frac{32}{z^2 - 4} = 1$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$z^2 - 4 = 32$

$z^2 = 36$

Отсюда $z_1 = 6$ и $z_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -6$.