Номер 255, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 255, страница 98.

255 Известно, что если из данного числа вычесть число, ему обратное, то получится $0,45$. Найдите данное число.

Пусть искомое число – это $x$. Тогда число, ему обратное, – это $\frac{1}{x}$.

Согласно условию задачи, если из данного числа вычесть число, ему обратное, то получится 0,45. Это можно записать в виде уравнения:

$x - \frac{1}{x} = 0,45$

Для решения уравнения сначала представим десятичную дробь 0,45 в виде обыкновенной дроби:

$0,45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$

Теперь уравнение выглядит так:

$x - \frac{1}{x} = \frac{9}{20}$

Умножим обе части уравнения на $20x$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $x \neq 0$):

$20x \cdot x - 20x \cdot \frac{1}{x} = 20x \cdot \frac{9}{20}$

$20x^2 - 20 = 9x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$20x^2 - 9x - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=20$, $b=-9$, $c=-20$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-20) = 81 + 1600 = 1681$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + 41}{2 \cdot 20} = \frac{9 + 41}{40} = \frac{50}{40} = \frac{5}{4} = 1,25$

$x_2 = \frac{-(-9) - 41}{2 \cdot 20} = \frac{9 - 41}{40} = \frac{-32}{40} = -\frac{4}{5} = -0,8$

Мы получили два возможных числа, которые удовлетворяют условию задачи. Сделаем проверку для каждого из них.

1. Если данное число равно $1,25$, то обратное ему число равно $\frac{1}{1,25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0,8$.
Разность: $1,25 - 0,8 = 0,45$. Решение верное.

2. Если данное число равно $-0,8$, то обратное ему число равно $\frac{1}{-0,8} = \frac{1}{-4/5} = -\frac{5}{4} = -1,25$.
Разность: $-0,8 - (-1,25) = -0,8 + 1,25 = 0,45$. Решение также верное.

Ответ: $1,25$ или $-0,8$.