Номер 260, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 260, страница 98.

Решите уравнение (№ 258–261):

260 а) $ \frac{3}{x - 2} - \frac{6}{x + 4} = \frac{3}{x} $

б) $ \frac{4}{x - 2} = \frac{7}{x - 3} + \frac{2}{15} $

в) $ \frac{3}{4 - x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3 - x} $

г) $ \frac{1}{x} - \frac{2}{x - 1} = \frac{x + 1}{x + 2} $

а) Исходное уравнение: $ \frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} = \frac{3}{x} $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$
$x \neq 0$
ОДЗ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$ \frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} - \frac{3}{x} = 0 $
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+4)$:
$ \frac{3x(x+4) - 6x(x-2) - 3(x-2)(x+4)}{x(x-2)(x+4)} = 0 $
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).
$ 3x(x+4) - 6x(x-2) - 3(x-2)(x+4) = 0 $
Разделим обе части на 3 для упрощения:
$ x(x+4) - 2x(x-2) - (x-2)(x+4) = 0 $
Раскроем скобки:
$ x^2+4x - (2x^2-4x) - (x^2+4x-2x-8) = 0 $
$ x^2+4x - 2x^2+4x - (x^2+2x-8) = 0 $
$ x^2+4x - 2x^2+4x - x^2-2x+8 = 0 $
Приведем подобные члены:
$ (1-2-1)x^2 + (4+4-2)x + 8 = 0 $
$ -2x^2 + 6x + 8 = 0 $
Разделим уравнение на -2:
$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:
$ x_1 + x_2 = 3 $
$ x_1 \cdot x_2 = -4 $
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; -1$.

б) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x-2} = \frac{7}{x-3} + \frac{2}{15} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Перенесем дроби с переменной в одну часть:
$ \frac{4}{x-2} - \frac{7}{x-3} = \frac{2}{15} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$:
$ \frac{4(x-3) - 7(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{15} $
$ \frac{4x - 12 - 7x + 14}{x^2 - 3x - 2x + 6} = \frac{2}{15} $
$ \frac{-3x + 2}{x^2 - 5x + 6} = \frac{2}{15} $
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ 15(-3x + 2) = 2(x^2 - 5x + 6) $
$ -45x + 30 = 2x^2 - 10x + 12 $
Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ 2x^2 - 10x + 12 + 45x - 30 = 0 $
$ 2x^2 + 35x - 18 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 \pm 37}{4} $
$ x_1 = \frac{-35+37}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $
$ x_2 = \frac{-35-37}{4} = \frac{-72}{4} = -18 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $0.5; -18$.

в) Исходное уравнение: $ \frac{3}{4-x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3-x} $.
ОДЗ: $4-x \neq 0 \implies x \neq 4$; $x \neq 0$; $3-x \neq 0 \implies x \neq 3$.
Для удобства изменим знаки в знаменателях: $ \frac{3}{-(x-4)} - \frac{5}{x} = \frac{7}{-(x-3)} $.
$ -\frac{3}{x-4} - \frac{5}{x} = -\frac{7}{x-3} $
Умножим обе части на -1:
$ \frac{3}{x-4} + \frac{5}{x} = \frac{7}{x-3} $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ \frac{3}{x-4} + \frac{5}{x} - \frac{7}{x-3} = 0 $
Общий знаменатель: $x(x-4)(x-3)$.
$ \frac{3x(x-3) + 5(x-4)(x-3) - 7x(x-4)}{x(x-4)(x-3)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ 3x(x-3) + 5(x^2-3x-4x+12) - 7x(x-4) = 0 $
$ 3x^2 - 9x + 5(x^2 - 7x + 12) - 7x^2 + 28x = 0 $
$ 3x^2 - 9x + 5x^2 - 35x + 60 - 7x^2 + 28x = 0 $
Приведем подобные члены:
$ (3+5-7)x^2 + (-9-35+28)x + 60 = 0 $
$ x^2 - 16x + 60 = 0 $
Решим по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 16 $
$ x_1 \cdot x_2 = 60 $
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = 10$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $6; 10$.

г) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{x+2} $.
ОДЗ: $x \neq 0$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-1)$:
$ \frac{1(x-1) - 2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
$ \frac{x-1-2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
$ \frac{-x-1}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
$ \frac{-(x+1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2} $
Перенесем все в одну сторону:
$ \frac{x+1}{x+2} + \frac{x+1}{x(x-1)} = 0 $
Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$ (x+1) \left( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} \right) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x+1 = 0 \implies x = -1$. Этот корень входит в ОДЗ.
Случай 2: $ \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} = 0 $
$ \frac{1}{x+2} = - \frac{1}{x(x-1)} $
$ x(x-1) = -(x+2) $
$ x^2 - x = -x - 2 $
$ x^2 = -2 $
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственным решением является корень из первого случая.
Ответ: $-1$.