Номер 264, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.4 Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 264, страница 99.

264 При каких значениях $a$ значение данной дроби равно 0:

а) $\frac{3a^2}{a^2+3}$;

б) $\frac{9a^2}{a^2-a}$;

в) $\frac{4a^2+1}{a^2-1}$;

г) $\frac{a^2-3a}{a^2+a-12}$?

а) Значение дроби равно нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Приравняем числитель дроби $\frac{3a^2}{a^2 + 3}$ к нулю:
$3a^2 = 0$
$a^2 = 0$
$a = 0$
Теперь проверим, не обращается ли в нуль знаменатель при этом значении $a$. Знаменатель равен $a^2 + 3$.
При $a = 0$ знаменатель равен $0^2 + 3 = 3$.
Поскольку $3 \neq 0$, знаменатель не равен нулю. Следовательно, при $a=0$ дробь равна нулю.
Ответ: $a=0$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{9a^2}{a^2 - a}$.
Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Приравняем числитель к нулю:
$9a^2 = 0$, откуда $a = 0$.
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $a$, при которых знаменатель не равен нулю:
$a^2 - a \neq 0$
$a(a - 1) \neq 0$
Отсюда $a \neq 0$ и $a \neq 1$.
Корень числителя $a = 0$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в нуль ($0^2 - 0 = 0$). Таким образом, не существует значений $a$, при которых данная дробь равна нулю.
Ответ: таких значений не существует.

в) Рассмотрим дробь $\frac{4a^2 + 1}{a^2 - 1}$.
Чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю.
$4a^2 + 1 = 0$
$4a^2 = -1$
$a^2 = -\frac{1}{4}$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Поскольку числитель никогда не равен нулю (для действительных $a$), то и вся дробь никогда не равна нулю.
Ответ: таких значений не существует.

г) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 - 3a}{a^2 + a - 12}$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Найдем корни числителя:
$a^2 - 3a = 0$
$a(a - 3) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $a_1 = 0$ и $a_2 = 3$.
2. Проверим, при каких значениях $a$ знаменатель обращается в нуль (эти значения нужно исключить):
$a^2 + a - 12 = 0$
Используя теорему Виета (сумма корней $-1$, произведение $-12$), находим корни: $a_3 = -4$ и $a_4 = 3$.
Значит, область допустимых значений (ОДЗ) для данной дроби: $a \neq -4$ и $a \neq 3$.
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $a_1 = 0$ входит в ОДЗ. При $a = 0$ знаменатель равен $0^2+0-12 = -12 \neq 0$. Значит, $a=0$ является решением.
Корень $a_2 = 3$ не входит в ОДЗ, так как при $a=3$ знаменатель обращается в нуль. Следовательно, $a=3$ не является решением.
Таким образом, единственное значение $a$, при котором дробь равна нулю, это $a=0$.
Ответ: $a=0$.