Номер 270, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.5 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 270, страница 101.

270 Премиальный фонд в 72 000 р. распределили в конце года между сотрудниками отдела поровну. В течение года 6 человек уволились, поэтому каждый из сотрудников получил на 1000 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников было в отделе первоначально? Сколько сотрудников стало к концу года?

Для решения задачи обозначим за $x$ первоначальное количество сотрудников в отделе. В этом случае премия, которую должен был получить каждый сотрудник, составила бы $\frac{72000}{x}$ рублей.

Так как в течение года 6 человек уволились, то к концу года в отделе осталось $x-6$ сотрудников. Премиальный фонд в 72 000 рублей был разделен между ними, и каждый получил по $\frac{72000}{x-6}$ рублей.

Из условия известно, что фактическая премия каждого сотрудника оказалась на 1000 рублей больше, чем предполагалось изначально. На основании этого можно составить уравнение: $$ \frac{72000}{x-6} - \frac{72000}{x} = 1000 $$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 1000: $$ \frac{72}{x-6} - \frac{72}{x} = 1 $$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x-6)$: $$ \frac{72x - 72(x-6)}{x(x-6)} = 1 $$

Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{72x - 72x + 432}{x^2 - 6x} = 1 $$ $$ \frac{432}{x^2 - 6x} = 1 $$

Учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 6$, получим: $$ x^2 - 6x = 432 $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 - 6x - 432 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764 $$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{1764}}{2} = \frac{6 \pm 42}{2} $$ Получаем два корня: $$ x_1 = \frac{6 + 42}{2} = \frac{48}{2} = 24 $$ $$ x_2 = \frac{6 - 42}{2} = \frac{-36}{2} = -18 $$

Поскольку количество сотрудников не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -18$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальное количество сотрудников равно 24.

Сколько сотрудников было в отделе первоначально?

Первоначально в отделе было 24 сотрудника.

Ответ: 24 сотрудника.

Сколько сотрудников стало к концу года?

К концу года количество сотрудников уменьшилось на 6 человек. Найдем итоговое число сотрудников: $$ 24 - 6 = 18 $$ К концу года в отделе стало 18 сотрудников.

Ответ: 18 сотрудников.