Номер 274, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.5 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 274, страница 101.

274 Катер спустился по течению реки, пройдя 28 км, и тотчас вернулся назад, затратив на весь путь 7 ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Какова скорость катера в стоячей воде? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

Какова скорость катера в стоячей воде?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).

Скорость течения реки равна 3 км/ч. Следовательно, скорость катера по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч.

Скорость катера против течения реки составляет $(x - 3)$ км/ч. Чтобы катер мог вернуться назад, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Катер прошел 28 км по течению и 28 км против течения. Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$: $$ t_{по\_теч} = \frac{28}{x+3} \text{ ч} $$

Время, затраченное на обратный путь против течения: $$ t_{против\_теч} = \frac{28}{x-3} \text{ ч} $$

Общее время в пути, по условию, равно 7 часам. Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения: $$ \frac{28}{x+3} + \frac{28}{x-3} = 7 $$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 7: $$ \frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = 1 $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$: $$ \frac{4(x-3) + 4(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 1 $$ $$ \frac{4x - 12 + 4x + 12}{x^2 - 9} = 1 $$ $$ \frac{8x}{x^2 - 9} = 1 $$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив на него обе части уравнения (при условии $x^2 - 9 \neq 0$): $$ 8x = x^2 - 9 $$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону: $$ x^2 - 8x - 9 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Легко подобрать корни: $$ x_1 = 9 $$ $$ x_2 = -1 $$

Корень $x_2 = -1$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, собственная скорость катера равна 9 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера в стоячей воде составляет 9 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

Используя найденную собственную скорость катера (9 км/ч) и данные из условия задачи (скорость течения 3 км/ч, расстояние 28 км), можно дополнительно вычислить:

1. Скорость катера по течению реки: $v_{по\_теч} = 9 + 3 = 12$ км/ч.

2. Скорость катера против течения реки: $v_{против\_теч} = 9 - 3 = 6$ км/ч.

3. Время, которое катер затратил на путь по течению: $t_{по\_теч} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ ч, что равно 2 часам 20 минутам.

4. Время, которое катер затратил на путь против течения: $t_{против\_теч} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ ч, что равно 4 часам 40 минутам.

5. Разницу во времени движения по течению и против течения: $\Delta t = t_{против\_теч} - t_{по\_теч} = 4 \text{ ч } 40 \text{ мин} - 2 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 2$ часа 20 минут.

6. Среднюю скорость движения на всем пути: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{28 + 28}{7} = \frac{56}{7} = 8$ км/ч.

Ответ: можно узнать скорость по течению (12 км/ч) и против течения (6 км/ч), время движения в каждом направлении (2 ч 20 мин и 4 ч 40 мин соответственно), разницу во времени (2 ч 20 мин), а также среднюю скорость катера на всем маршруте (8 км/ч).