Номер 275, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.5 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 275, страница 101.

275. Прогулочный маршрут на лодках включает движение по течению реки на расстояние 10 км и против течения реки на расстояние 6 км. Скорость течения реки 1 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка заняла 2 ч, включая 15-минутную стоянку?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость лодки. Поскольку скорость течения реки равна 1 км/ч, то:

• Скорость лодки по течению реки составляет $(x + 1)$ км/ч.
• Скорость лодки против течения реки составляет $(x - 1)$ км/ч.

Важным условием для движения против течения является то, что собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Определим чистое время движения лодки. Общая продолжительность поездки — 2 часа. Из них 15 минут ушло на стоянку. Переведем минуты в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$

Время, которое лодка находилась в движении, составляет:

$T_{движения} = T_{общая} - T_{стоянки} = 2 - 0,25 = 1,75 \text{ ч}$

Для удобства вычислений представим время движения в виде неправильной дроби:

$1,75 = 1 \frac{75}{100} = 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \text{ ч}$

Теперь выразим время движения через расстояние и скорость. Используем формулу $t = S/v$.

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{10}{x + 1}$ ч.
• Время движения против течения: $t_{против} = \frac{6}{x - 1}$ ч.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени движения. Составим и решим уравнение:

$\frac{10}{x + 1} + \frac{6}{x - 1} = \frac{7}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{10(x - 1) + 6(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{7}{4}$

$\frac{10x - 10 + 6x + 6}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

$\frac{16x - 4}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$4(16x - 4) = 7(x^2 - 1)$

$64x - 16 = 7x^2 - 7$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x^2 - 64x - 7 + 16 = 0$

$7x^2 - 64x + 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 9 = 4096 - 252 = 3844$

$\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 62}{2 \cdot 7} = \frac{126}{14} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 62}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Проверим полученные корни. Ранее мы установили, что собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения ($x > 1$).

• Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет этому условию ($9 > 1$).
• Корень $x_2 = 1/7$ не удовлетворяет этому условию ($1/7 < 1$), поэтому он не является решением задачи.

Следовательно, единственное подходящее значение для собственной скорости лодки — 9 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки должна быть 9 км/ч.