Номер 280, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 280, страница 104.

280. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого — объединение:

а) параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$;

б) пары прямых $y = x + 1$ и $y = x - 1$.

Чтобы составить уравнение с двумя переменными, график которого является объединением нескольких графиков, можно использовать следующий принцип. Если графики заданы уравнениями $F_1(x, y) = 0$, $F_2(x, y) = 0$ и так далее, то уравнение, описывающее их объединение, будет иметь вид $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) \cdot \dots = 0$. Это вытекает из того факта, что произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю.

а)

Требуется составить уравнение, график которого является объединением параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$.

Сначала представим каждое уравнение в виде, где правая часть равна нулю:

1. Уравнение параболы $y = x^2$ преобразуется в $y - x^2 = 0$.

2. Уравнение прямой $y = -2$ преобразуется в $y + 2 = 0$.

Теперь, чтобы получить уравнение, описывающее объединение этих двух графиков, перемножим левые части полученных уравнений и приравняем результат к нулю:

$(y - x^2)(y + 2) = 0$

Это уравнение удовлетворяется, если $y - x^2 = 0$ (что соответствует параболе) или если $y + 2 = 0$ (что соответствует прямой). Таким образом, график этого уравнения является объединением исходных графиков.

При желании можно раскрыть скобки: $y^2 + 2y - x^2y - 2x^2 = 0$.

Ответ: $(y - x^2)(y + 2) = 0$.

б)

Требуется составить уравнение для объединения двух прямых: $y = x + 1$ и $y = x - 1$.

Действуем по тому же алгоритму. Приводим уравнения к виду $F(x, y) = 0$:

1. Для прямой $y = x + 1$ получаем $y - x - 1 = 0$.

2. Для прямой $y = x - 1$ получаем $y - x + 1 = 0$.

Перемножаем левые части этих уравнений:

$(y - x - 1)(y - x + 1) = 0$

Это и есть искомое уравнение. Его график — это совокупность всех точек, которые принадлежат либо первой, либо второй прямой.

Данное выражение можно упростить, если заметить, что оно является формулой разности квадратов вида $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = y - x$ и $b = 1$.

Применяя эту формулу, получаем:

$(y - x)^2 - 1^2 = 0$

$(y - x)^2 - 1 = 0$

Раскрыв скобки, можно получить еще одну форму записи: $y^2 - 2xy + x^2 - 1 = 0$.

Ответ: $(y - x - 1)(y - x + 1) = 0$.