Номер 286, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 286, страница 105.

286 Пользуясь рисунком 3.13, составьте систему уравнений:

1) имеющую два решения;

$ x^2 - y = 2 $

$ x - y = 4 $

2) имеющую одно решение;

$ x^2 + y^2 = 4 $

$ y + 2x = 2 $

3) не имеющую решений.

$ xy = -12 $

$ 4y - 3x = 24 $

Рис. 3.13

Для решения задачи необходимо проанализировать каждую из трех пар уравнений, представленных на рисунках. Решением системы уравнений являются точки пересечения их графиков. Количество решений системы равно количеству точек пересечения.

1) имеющую два решения;

Рассмотрим систему уравнений, представленную на среднем рисунке: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + 2x = 2. \end{cases} $$ Первое уравнение задает окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $r=2$. Второе уравнение задает прямую. На графике видно, что прямая пересекает окружность в двух точках. Проверим это алгебраически.

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 + (2 - 2x)^2 = 4$
$x^2 + 4 - 8x + 4x^2 = 4$
$5x^2 - 8x = 0$
$x(5x - 8) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{8}{5} = 1.6$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 - 2 \cdot 0 = 2$.
При $x_2 = 1.6$, $y_2 = 2 - 2 \cdot 1.6 = 2 - 3.2 = -1.2$.
Таким образом, система имеет два решения: $(0; 2)$ и $(1.6; -1.2)$.

Ответ: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + 2x = 2. \end{cases} $$

2) имеющую одно решение;

Рассмотрим систему уравнений, представленную на правом рисунке: $$ \begin{cases} xy = -12, \\ 4y - 3x = 24. \end{cases} $$ Первое уравнение задает гиперболу, а второе — прямую. Чтобы найти количество решений, решим систему.

Из первого уравнения выразим $y$ (при $x \neq 0$): $y = -\frac{12}{x}$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $4\left(-\frac{12}{x}\right) - 3x = 24$
$-\frac{48}{x} - 3x = 24$
Умножим обе части уравнения на $x$: $-48 - 3x^2 = 24x$
$3x^2 + 24x + 48 = 0$
Разделим уравнение на 3: $x^2 + 8x + 16 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x + 4)^2 = 0$.
Оно имеет единственный корень $x = -4$.
Найдем соответствующее значение $y$: $y = -\frac{12}{-4} = 3$.
Система имеет одно решение: $(-4; 3)$. Это означает, что прямая является касательной к гиперболе в этой точке.

Ответ: $$ \begin{cases} xy = -12, \\ 4y - 3x = 24. \end{cases} $$

3) не имеющую решений.

Рассмотрим систему уравнений, представленную на левом рисунке: $$ \begin{cases} x^2 - y = 2, \\ x - y = 4. \end{cases} $$ Первое уравнение $y = x^2 - 2$ задает параболу, второе $y = x - 4$ — прямую. Хотя на эскизе графика кажется, что пересечение есть, необходимо выполнить алгебраическую проверку.

Выразим $y$ из обоих уравнений и приравняем правые части: $y = x^2 - 2$
$y = x - 4$
$x^2 - 2 = x - 4$
$x^2 - x + 2 = 0$
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений, и графики не пересекаются.

Ответ: $$ \begin{cases} x^2 - y = 2, \\ x - y = 4. \end{cases} $$