Номер 288, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 288, страница 105.

288 С помощью схематических графиков выясните, имеет ли система уравнений решения, и если имеет, то сколько:

а) $ \begin{cases} xy = 8, \\ y - x^3 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy = -1, \\ x^3 - y = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ x - 2y = 2; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y = x^2 + 8, \\ y = -x^2 + 12. \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 8 \\ y - x^3 = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения, чтобы выразить y через x:

$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = x^3 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = \frac{8}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Второе уравнение, $y = x^3$, задает кубическую параболу, которая проходит через начало координат и расположена также в I и III координатных четвертях.

Схематически изобразим эти графики. В первой четверти ($x>0$) график $y=x^3$ возрастает от 0 до $+\infty$, а график $y = \frac{8}{x}$ убывает от $+\infty$ до 0. Следовательно, они должны пересечься в одной точке. Аналогичная ситуация в третьей четверти ($x<0$), где графики обеих функций также существуют и должны пересечься в одной точке.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках, что означает, что система имеет два решения.

Ответ: система имеет 2 решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = -1 \\ x^3 - y = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения:

$ \begin{cases} y = -\frac{1}{x} \\ y = x^3 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = -\frac{1}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Второе уравнение, $y = x^3$, задает кубическую параболу, расположенную в I и III координатных четвертях.

Схематически изобразив графики, мы видим, что они расположены в разных наборах четвертей. График $y=x^3$ существует там, где знаки x и y совпадают (или оба равны нулю), а график $y = -\frac{1}{x}$ — там, где знаки x и y противоположны. Точек пересечения нет, так как графики не имеют общих областей.

Алгебраическая проверка: приравняв выражения для y, получим $x^3 = -\frac{1}{x}$, или $x^4 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного x.

Ответ: система не имеет решений.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ x - 2y = 2 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = \sqrt{x}$, задает верхнюю ветвь параболы, открывающейся вправо. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$. График расположен в I координатной четверти.

Второе уравнение, $x - 2y = 2$, является линейным. Выразим y: $2y = x - 2$, то есть $y = \frac{1}{2}x - 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$ и пересекающая ось y в точке $(0, -1)$.

Схематически изобразим графики. График $y = \sqrt{x}$ начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 1$ пересекает ось x в точке (2, 0). Для $x < 2$ прямая находится ниже оси x ($y<0$), в то время как для графика $y = \sqrt{x}$ всегда $y \ge 0$. Следовательно, пересечение возможно только при $x \ge 2$.

Поскольку кривая $y=\sqrt{x}$ вогнута вниз, а прямая $y = \frac{1}{2}x - 1$ имеет постоянный положительный наклон, они могут пересечься не более двух раз. Так как при $x=2$ кривая находится выше прямой ($y=\sqrt{2}$ против $y=0$), а при достаточно больших x прямая будет выше кривой, они должны пересечься ровно один раз.

Таким образом, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: система имеет 1 решение.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = x^2 + 8$, задает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, 8).

Второе уравнение, $y = -x^2 + 12$, задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 12).

Схематически изобразим графики. Вершина параболы, открывающейся вверх, находится в точке (0, 8). Вершина параболы, открывающейся вниз, находится в точке (0, 12). Поскольку вершина первой параболы лежит ниже вершины второй, а их ветви направлены в противоположные стороны, графики обязательно пересекутся. Так как обе параболы симметричны относительно оси y, они пересекутся в двух точках, симметричных относительно этой оси.

Это можно проверить алгебраически: $x^2 + 8 = -x^2 + 12 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2$, что дает два решения $x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: система имеет 2 решения.