Номер 295, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 295, страница 109.

295 1) Разберите способ решения системы уравнений $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = -2. \end{cases}$

Разложим в первом уравнении разность $x^2 - y^2$ на множители, затем подставим вместо $x - y$ число $-2$. Получим систему, которую легко решить устно:

$\begin{cases} (x - y)(x + y) = 8, \\ x - y = -2; \end{cases}$ $\begin{cases} -2(x + y) = 8, \\ x - y = -2; \end{cases}$ $\begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = -2. \end{cases}$

Ответ: $x = -3$, $y = -1$.

2) Решите систему уравнений: а) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = 3; \end{cases}$ б) $\begin{cases} x^2 - xy = 4, \\ x - y = 1. \end{cases}$

1)

Данная задача предлагает разобрать способ решения системы уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = -2. \end{cases} $$ Метод решения заключается в упрощении первого уравнения с помощью формулы разности квадратов и последующей подстановке значения из второго уравнения. Разберем этот процесс подробно.

Шаг 1: Факторизация первого уравнения.
Первое уравнение системы $x^2 - y^2 = 8$ содержит разность квадратов. Применим известную алгебраическую формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В результате уравнение $x^2 - y^2 = 8$ преобразуется в $(x - y)(x + y) = 8$.

Шаг 2: Подстановка.
Теперь наша система выглядит следующим образом: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 8, \\ x - y = -2. \end{cases} $$ Из второго уравнения нам известно, что выражение $(x - y)$ равно $-2$. Мы можем подставить это значение в первое уравнение вместо $(x - y)$.
Получаем: $-2 \cdot (x + y) = 8$.

Шаг 3: Упрощение и формирование новой системы.
Разделим обе части уравнения $-2(x + y) = 8$ на $-2$, чтобы найти значение $(x + y)$: $x + y = \frac{8}{-2}$, что дает $x + y = -4$.
Таким образом, исходная система сводится к более простой системе линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = -2. \end{cases} $$

Шаг 4: Решение линейной системы.
Эту систему удобно решать методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений: $(x + y) + (x - y) = -4 + (-2)$
$2x = -6$
$x = -3$.

Шаг 5: Нахождение второй переменной.
Подставим найденное значение $x = -3$ в любое из уравнений простой системы, например, в $x + y = -4$:
$-3 + y = -4$
$y = -4 + 3$
$y = -1$.
Проверка по второму уравнению $x - y = -2$: $-3 - (-1) = -3 + 1 = -2$. Решение верно.

Ответ: $x = -3, y = -1$.

2) а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = 3. \end{cases} $$

1. В первом уравнении применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 21, \\ x + y = 3. \end{cases} $$

2. Подставим значение $(x + y)$ из второго уравнения в первое: $(x - y) \cdot 3 = 21$.

3. Найдем $(x - y)$, разделив обе части уравнения на 3: $x - y = \frac{21}{3}$
$x - y = 7$.

4. Теперь мы имеем простую систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 7. \end{cases} $$

5. Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:
$(x + y) + (x - y) = 3 + 7$
$2x = 10$
$x = 5$.

6. Подставим $x = 5$ в уравнение $x + y = 3$, чтобы найти $y$:
$5 + y = 3$
$y = 3 - 5$
$y = -2$.

Ответ: $x = 5, y = -2$.

2) б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - xy = 4, \\ x - y = 1. \end{cases} $$

1. В первом уравнении $x^2 - xy = 4$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - y) = 4$.

2. Система примет вид: $$ \begin{cases} x(x - y) = 4, \\ x - y = 1. \end{cases} $$

3. Из второго уравнения известно, что $(x - y) = 1$. Подставим это значение в первое уравнение: $x \cdot 1 = 4$
$x = 4$.

4. Теперь подставим найденное значение $x = 4$ во второе уравнение $x - y = 1$, чтобы найти $y$:
$4 - y = 1$
$4 - 1 = y$
$y = 3$.

Ответ: $x = 4, y = 3$.