Номер 300, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 300, страница 110.

300 Решите систему уравнений, воспользовавшись способом сложения:

а) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 25, \\x^2 - y^2 = 7;\end{cases}$

б) $\begin{cases}xy - y = 1, \\xy + x = 4;\end{cases}$

в) $\begin{cases}xy + x^2 = 1, \\xy - x^2 = \frac{1}{2};\end{cases}$

г) $\begin{cases}x + y + xy = -6, \\x + y - xy = 10.\end{cases}$

а) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x^2 - y^2 = 7. \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить $y^2$:

$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 25 + 7$

$2x^2 = 32$

$x^2 = 16$

Отсюда находим значения $x$: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x^2$:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 25 - 7$

$2y^2 = 18$

$y^2 = 9$

Отсюда находим значения $y$: $y_1 = 3$, $y_2 = -3$.

Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$, что дает нам четыре пары решений. Проверка показывает, что все они подходят.

Ответ: $(4; 3)$, $(4; -3)$, $(-4; 3)$, $(-4; -3)$.

б) $ \begin{cases} xy - y = 1, \\ xy + x = 4. \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить член $xy$:

$(xy + x) - (xy - y) = 4 - 1$

$x + y = 3$

Из полученного уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 3 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $xy - y = 1$:

$x(3 - x) - (3 - x) = 1$

$3x - x^2 - 3 + x = 1$

Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 4x - 4 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 2)^2 = 0$

Отсюда $x = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3 - x = 3 - 2 = 1$.

Ответ: $(2; 1)$.

в) $ \begin{cases} xy + x^2 = 1, \\ xy - x^2 = \frac{1}{2}. \end{cases} $

Сложим оба уравнения системы:

$(xy + x^2) + (xy - x^2) = 1 + \frac{1}{2}$

$2xy = \frac{3}{2}$

$xy = \frac{3}{4}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(xy + x^2) - (xy - x^2) = 1 - \frac{1}{2}$

$2x^2 = \frac{1}{2}$

$x^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $xy = \frac{3}{4}$, или $y = \frac{3}{4x}$.

При $x = \frac{1}{2}$: $y = \frac{3}{4 \cdot (\frac{1}{2})} = \frac{3}{2}$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $y = \frac{3}{4 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$.

г) $ \begin{cases} x + y + xy = -6, \\ x + y - xy = 10. \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения:

$(x + y + xy) + (x + y - xy) = -6 + 10$

$2(x + y) = 4$

$x + y = 2$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + y + xy) - (x + y - xy) = -6 - 10$

$2xy = -16$

$xy = -8$

Мы получили новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = -8. \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или разложить на множители. Найдем два числа, сумма которых равна $2$, а произведение равно $-8$. Это числа $4$ и $-2$.

Таким образом, корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Это означает, что решениями исходной системы являются пары чисел $(4; -2)$ и $(-2; 4)$.

Ответ: $(4; -2)$, $(-2; 4)$.