Номер 297, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 297, страница 110.

297 Вычислите координаты общих точек параболы и прямой:

a) $y = x^2 - 5x$ и $y = x - 8$;

б) $y = 2x - 6$ и $y = x^2 - 5$.

В каждом случае проиллюстрируйте ответ схематическим рисунком.

a) Даны парабола $y = x^2 - 5x$ и прямая $y = x - 8$. Чтобы найти координаты их общих точек, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 5x = x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 4$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 8$ (это проще, чем подставлять в уравнение параболы):

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 - 8 = -6$

Первая точка пересечения: $(2, -6)$.

При $x_2 = 4$:

$y_2 = 4 - 8 = -4$

Вторая точка пересечения: $(4, -4)$.

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Схематический рисунок:

На рисунке синим цветом изображен график параболы $y = x^2 - 5x$, красным — график прямой $y = x - 8$. Зелеными точками отмечены их общие точки.

Ответ: $(2, -6)$, $(4, -4)$.

---

б) Даны прямая $y = 2x - 6$ и парабола $y = x^2 - 5$. Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений:

$2x - 6 = x^2 - 5$

Соберем все члены в одной части уравнения:

$x^2 - 2x - 5 + 6 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом разности:

$(x - 1)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень (кратности 2):

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Единственное значение абсциссы означает, что прямая не пересекает параболу, а касается ее в одной точке.

Найдем ординату ($y$) точки касания, подставив $x = 1$ в уравнение прямой $y = 2x - 6$:

$y = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4$

Координаты общей точки (точки касания): $(1, -4)$.

Схематический рисунок:

На рисунке синим цветом изображен график параболы $y = x^2 - 5$, красным — график прямой $y = 2x - 6$. Зеленой точкой отмечена их общая точка касания.

Ответ: $(1, -4)$.