Номер 302, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 302, страница 110.

302 Решите систему уравнений, подобрав замену, приводящую данную систему к линейной:

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{3}{4}, \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15}, \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{8}{x + y} + \frac{4}{x - y} = 3, \\ \frac{1}{x + y} - \frac{2}{x - y} = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{3}{4} \end{cases} $$

Для того чтобы свести эту систему к линейной, введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. С учетом этой замены система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{4} \\ u - v = -\frac{3}{4} \end{cases} $$

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно переменных $u$ и $v$. Решим ее методом сложения. Сложим первое уравнение со вторым:

$(u + v) + (u - v) = \frac{1}{4} + (-\frac{3}{4})$

$2u = \frac{1-3}{4}$

$2u = -\frac{2}{4}$

$2u = -\frac{1}{2}$

$u = -\frac{1}{4}$

Теперь подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы, чтобы найти $v$:

$-\frac{1}{4} + v = \frac{1}{4}$

$v = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

$v = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Мы нашли значения для $u$ и $v$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

Так как $u = \frac{1}{x}$, то $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{-1/4} = -4$.

Так как $v = \frac{1}{y}$, то $y = \frac{1}{v} = \frac{1}{1/2} = 2$.

Решением системы является пара чисел $(-4, 2)$.

Ответ: $(-4; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Введем замену переменных, чтобы упростить систему. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Тогда исходная система преобразуется в следующую линейную систему:

$$ \begin{cases} 4u + v = \frac{1}{15} \\ 2u - v = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Решим эту систему методом сложения. Сложим два уравнения:

$(4u + v) + (2u - v) = \frac{1}{15} + \frac{1}{3}$

$6u = \frac{1}{15} + \frac{5}{15}$

$6u = \frac{6}{15}$

$6u = \frac{2}{5}$

$u = \frac{2}{5 \cdot 6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Подставим значение $u$ во второе уравнение системы, чтобы найти $v$:

$2(\frac{1}{15}) - v = \frac{1}{3}$

$\frac{2}{15} - v = \frac{5}{15}$

$-v = \frac{5}{15} - \frac{2}{15}$

$-v = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

$v = -\frac{1}{5}$

Теперь выполним обратную замену:

$x = \frac{1}{u} = \frac{1}{1/15} = 15$.

$y = \frac{1}{v} = \frac{1}{-1/5} = -5$.

Решением системы является пара чисел $(15, -5)$.

Ответ: $(15; -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{8}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{1}{x+y} - \frac{2}{x-y} = 1 \end{cases} $$

Чтобы привести систему к линейному виду, сделаем замену. Пусть $u = \frac{1}{x+y}$ и $v = \frac{1}{x-y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 8u + 4v = 3 \\ u - 2v = 1 \end{cases} $$

Решим полученную систему. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $v$ стали противоположными:

$2(u - 2v) = 2 \cdot 1 \implies 2u - 4v = 2$

Теперь сложим первое уравнение с полученным новым уравнением:

$(8u + 4v) + (2u - 4v) = 3 + 2$

$10u = 5$

$u = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Подставим значение $u$ во второе уравнение исходной линейной системы ($u - 2v = 1$):

$\frac{1}{2} - 2v = 1$

$-2v = 1 - \frac{1}{2}$

$-2v = \frac{1}{2}$

$v = -\frac{1}{4}$

Теперь выполним обратную замену. Мы получили новую систему уравнений для $x$ и $y$:

$\frac{1}{x+y} = u \implies \frac{1}{x+y} = \frac{1}{2} \implies x+y = 2$.

$\frac{1}{x-y} = v \implies \frac{1}{x-y} = -\frac{1}{4} \implies x-y = -4$.

Получилась система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x-y = -4 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 2 + (-4)$

$2x = -2$

$x = -1$

Подставим значение $x$ в первое уравнение этой системы ($x+y=2$):

$-1 + y = 2$

$y = 3$

Решением системы является пара чисел $(-1, 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$.