Номер 308, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 308, страница 111.

308 Составьте уравнение параболы (рис. 3.16, а, б) и вычислите координаты точек её пересечения с осью x.

Рис. 3.16

а)

Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ задается формулой $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Из графика на рисунке 3.16, а, мы видим, что вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, -8)$. Подставив эти значения в формулу, получим: $y = a(x - (-1))^2 - 8$, что упрощается до $y = a(x + 1)^2 - 8$.

Чтобы найти коэффициент $a$, используем другую точку, через которую проходит парабола. Из графика видно, что это точка с координатами $(0, -6)$. Подставим $x=0$ и $y=-6$ в наше уравнение:
$-6 = a(0 + 1)^2 - 8$
$-6 = a \cdot 1 - 8$
$-6 = a - 8$
$a = 8 - 6 = 2$

Таким образом, уравнение параболы в вершинной форме: $y = 2(x + 1)^2 - 8$. Для получения стандартного вида $y = ax^2 + bx + c$ раскроем скобки:
$y = 2(x^2 + 2x + 1) - 8$
$y = 2x^2 + 4x + 2 - 8$
$y = 2x^2 + 4x - 6$

Теперь вычислим координаты точек пересечения параболы с осью $x$. В этих точках $y = 0$.
$2x^2 + 4x - 6 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, парабола пересекает ось $x$ в точках с координатами $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: уравнение параболы $y = 2x^2 + 4x - 6$; точки пересечения с осью $x$: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

б)

Используем тот же подход, что и в пункте а). Вершина параболы, изображенной на рисунке 3.16, б, находится в точке $(3, 4)$. Подставляем координаты вершины в формулу $y = a(x - x_v)^2 + y_v$:
$y = a(x - 3)^2 + 4$.

Для определения коэффициента $a$ возьмем другую точку на параболе, например, точку пересечения с осью $y$, которая имеет координаты $(0, -5)$. Подставим их в уравнение:
$-5 = a(0 - 3)^2 + 4$
$-5 = a \cdot (-3)^2 + 4$
$-5 = 9a + 4$
$9a = -5 - 4$
$9a = -9$
$a = -1$

Итак, уравнение параболы имеет вид: $y = -(x - 3)^2 + 4$. Приведем его к стандартному виду, раскрыв скобки:
$y = -(x^2 - 6x + 9) + 4$
$y = -x^2 + 6x - 9 + 4$
$y = -x^2 + 6x - 5$

Для нахождения точек пересечения с осью $x$, приравняем $y$ к нулю:
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Таким образом, координаты точек пересечения с осью $x$: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: уравнение параболы $y = -x^2 + 6x - 5$; точки пересечения с осью $x$: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.