Номер 310, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 310, страница 111.

310ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 + b \end{cases}$, где $b$ — произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Проиллюстрируйте каждый случай с помощью схематического рисунка и подберите для него конкретную систему.

2) Сколько решений может иметь указанная система, если известно, что:

а) $b$ — произвольное положительное число;

б) $b$ — произвольное отрицательное число?

Для решения этой задачи мы будем использовать графический метод. Первое уравнение системы, $x^2 + y^2 = 4$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение, $y = x^2 + b$, задает параболу с ветвями, направленными вверх. Вершина этой параболы находится в точке $(0, b)$. Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций. Изменяя параметр $b$, мы смещаем параболу по вертикали (вдоль оси $OY$), что приводит к изменению числа точек пересечения.

1) Проиллюстрируем все возможные случаи количества решений.

Случай 1: Нет решений (0 решений)
Это происходит, когда парабола расположена полностью над окружностью или полностью под ней. Поскольку ветви параболы направлены вверх, второй вариант невозможен. Парабола будет полностью над окружностью, если ее вершина $(0, b)$ находится выше верхней точки окружности $(0, 2)$. Таким образом, это происходит при $b > 2$.
Пример системы для $b=3$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + 3 \end{cases} $$ Ответ: нет решений.

Случай 2: Одно решение
Это происходит, когда парабола касается окружности в одной точке. Такое возможно только в верхней точке окружности $(0, 2)$. Это произойдет, если вершина параболы совпадет с этой точкой, то есть при $b=2$.
Пример системы для $b=2$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + 2 \end{cases} $$ Ответ: одно решение.

Случай 3: Два решения
Этот случай возникает в двух ситуациях:
1. Когда вершина параболы находится внутри окружности, но выше ее центра, и парабола пересекает только верхнюю полуокружность. Это происходит при $0 \le b < 2$.
2. Когда парабола опускается достаточно низко и касается окружности в двух симметричных точках. Алгебраический анализ показывает, что это происходит при $b = -4.25$.
3. Когда вершина параболы находится между центром окружности и ее нижней точкой касания, но еще не достигает точки, где появляются четыре решения. Это происходит при $-2 < b < 0$.
Пример системы для $b=1$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + 1 \end{cases} $$ Ответ: два решения.

Случай 4: Три решения
Это особый случай, который происходит, когда вершина параболы касается окружности в ее нижней точке $(0, -2)$, а ветви параболы пересекают окружность еще в двух точках. Это происходит при $b=-2$.
Пример системы для $b=-2$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2 \end{cases} $$ Ответ: три решения.

Случай 5: Четыре решения
Это происходит, когда вершина параболы находится ниже нижней точки касания $(0, -2)$, но парабола еще не опустилась так низко, чтобы перестать пересекать окружность. В этом случае парабола пересекает и верхнюю, и нижнюю полуокружности. Алгебраически это соответствует условию $-4.25 < b < -2$.
Пример системы для $b=-2.5$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2.5 \end{cases} $$ Ответ: четыре решения.

2) Теперь рассмотрим частные случаи для параметра $b$.

а) $b$ — произвольное положительное число;
Если $b$ — положительное число ($b>0$), то возможны следующие ситуации, проанализированные в пункте 1:
• Если $0 < b < 2$, система имеет два решения.
• Если $b=2$, система имеет одно решение.
• Если $b > 2$, система не имеет решений.
Таким образом, если $b$ — произвольное положительное число, система может иметь ноль, одно или два решения.
Ответ: 0, 1 или 2 решения.

б) $b$ — произвольное отрицательное число?
Если $b$ — отрицательное число ($b<0$), то возможны следующие ситуации:
• Если $-2 < b < 0$, система имеет два решения.
• Если $b=-2$, система имеет три решения.
• Если $-4.25 < b < -2$, система имеет четыре решения.
• Если $b=-4.25$, система имеет два решения (случай касания).
• Если $b < -4.25$, система не имеет решений.
Таким образом, если $b$ — произвольное отрицательное число, система может иметь ноль, два, три или четыре решения.
Ответ: 0, 2, 3 или 4 решения.