Номер 317, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 317, страница 113.

317 Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, его гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты этого треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Согласно условию задачи, периметр треугольника $P$ равен 24 см, а гипотенуза $c$ равна 10 см.

Периметр треугольника определяется как сумма длин всех его сторон, что можно записать в виде формулы:
$P = a + b + c$

Подставив известные значения $P = 24$ и $c = 10$, мы можем найти сумму длин катетов:
$24 = a + b + 10$
$a + b = 24 - 10$
$a + b = 14$

Также для любого прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение значение гипотенузы $c = 10$:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$

В результате мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a + b = 14$
2) $a^2 + b^2 = 100$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $b$:
$b = 14 - a$

Теперь подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение системы:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью теоремы Виета: нам нужно найти два числа, сумма которых равна 14, а произведение — 48. Этими числами являются 6 и 8, так как $6 + 8 = 14$ и $6 \cdot 8 = 48$. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения для второго катета $b$, используя выражение $b = 14 - a$:
- Если $a = 6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.
- Если $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что катеты треугольника имеют длины 6 см и 8 см.

Ответ: катеты этого треугольника равны 6 см и 8 см.