Номер 323, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 323, страница 116.

323 Запишите уравнение вида $f(x) = 0$, графическое решение которого приведено на рисунке 3.21. Выясните, сколько корней имеет уравнение. Найдите корни. Есть ли среди них точные?

a) Уравнение: $x^3 - 6x - 4 = 0$

Количество корней: 3

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 \approx -0.6$, $x_3 \approx 2.6$

Точный корень: $x = -2$

б) Уравнение: $x^3 - 3x + 2 = 0$

Количество корней: 2 (один из них - двойной)

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$ (двойной корень)

Точные корни: $x = -2$, $x = 1$

Рис. 3.21

а) На рисунке а представлен график функции $y = x^3 - 6x - 4$. Чтобы найти корни уравнения $f(x) = 0$, нам нужно решить уравнение $x^3 - 6x - 4 = 0$. Корнями этого уравнения являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью x).
Из графика видно, что он пересекает ось x в трех точках. Следовательно, уравнение имеет три корня.
Один из корней, судя по графику, является целым числом $x = -2$. Проверим это, подставив значение в уравнение:
$(-2)^3 - 6(-2) - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$.
Равенство верное, значит $x_1 = -2$ — точный корень уравнения.
Для нахождения остальных корней разделим многочлен $x^3 - 6x - 4$ на двучлен $(x + 2)$.
$(x^3 - 6x - 4) : (x + 2) = x^2 - 2x - 2$.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ и $x_3 = 1 + \sqrt{3}$. Эти корни являются иррациональными.
Итак, уравнение имеет три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0.732$, $x_3 = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$. Среди них есть один точный корень.
Ответ: уравнение $x^3 - 6x - 4 = 0$ имеет три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1 - \sqrt{3}$, $x_3 = 1 + \sqrt{3}$. Точный корень один: $x = -2$.

б) На рисунке б представлен график функции $y = x^3 - 3x + 2$. Решаем уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$.
Из графика видно, что он пересекает ось x в одной точке и касается ее в другой. Это означает, что уравнение имеет два различных корня, один из которых является корнем кратности 2.
Из графика видно, что корни являются целыми числами: $x = -2$ (точка пересечения) и $x = 1$ (точка касания). Проверим их:
Для $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$.
Для $x = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
Оба значения являются корнями уравнения. Поскольку в точке $x = 1$ график касается оси, это корень второй кратности. Уравнение можно представить в виде:
$(x - 1)^2 (x + 2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2$.
Уравнение имеет два различных корня. Оба корня являются точными (целочисленными).
Ответ: уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$ имеет два различных корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Оба корня точные.