Номер 328, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 328, страница 116.

328 Решите графически уравнения:

1) $x^3 - 2x - 4 = 0$;

2) $x^3 - 2x + 4 = 0$;

3) $x^3 + 2x - 4 = 0$.

Есть ли среди корней точные?

Для графического решения уравнений необходимо представить их в виде равенства двух функций, например, $f(x) = g(x)$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций. Для всех трех уравнений удобно использовать представление $x^3 = kx + b$. Таким образом, мы будем искать точки пересечения кубической параболы $y = x^3$ и прямой $y = kx + b$.

Сначала построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. Составим для нее таблицу значений:

x	-2	-1.5	-1	0	1	1.5	2
y = x³	-8	-3.375	-1	0	1	3.375	8

1) $x^3 - 2x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^3 = 2x + 4$. Построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ и $y=2x+4$.

График $y=2x+4$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:
- при $x=0$, $y=2(0)+4=4$. Точка (0; 4).
- при $x=-2$, $y=2(-2)+4=0$. Точка (-2; 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения примерно равна 2. Проверим, является ли $x=2$ точным решением. Для этого найдем значения $y$ для обеих функций при $x=2$:
$y=x^3=2^3=8$
$y=2x+4=2(2)+4=8$
Значения совпадают, следовательно, точка (2; 8) является точкой пересечения графиков, а $x=2$ — корень уравнения.

Ответ: $x=2$.

2) $x^3 - 2x + 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^3 = 2x - 4$. Построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ и $y=2x-4$.

График $y=2x-4$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:
- при $x=0$, $y=2(0)-4=-4$. Точка (0; -4).
- при $x=2$, $y=2(2)-4=0$. Точка (2; 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения примерно равна -2. Проверим, является ли $x=-2$ точным решением. Для этого найдем значения $y$ для обеих функций при $x=-2$:
$y=x^3=(-2)^3=-8$
$y=2x-4=2(-2)-4=-8$
Значения совпадают, следовательно, точка (-2; -8) является точкой пересечения графиков, а $x=-2$ — корень уравнения.

Ответ: $x=-2$.

3) $x^3 + 2x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^3 = -2x + 4$. Построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ и $y=-2x+4$.

График $y=-2x+4$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:
- при $x=0$, $y=-2(0)+4=4$. Точка (0; 4).
- при $x=2$, $y=-2(2)+4=0$. Точка (2; 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке, абсцисса которой находится в интервале $(1; 2)$. Проверим, есть ли среди целых чисел точный корень:
При $x=1$: $1^3 + 2(1) - 4 = -1 \neq 0$.
При $x=2$: $2^3 + 2(2) - 4 = 8 \neq 0$.
Целочисленного корня нет. Функция $f(x)=x^3+2x-4$ является строго возрастающей на всей числовой оси (ее производная $f'(x)=3x^2+2$ всегда положительна), поэтому уравнение имеет только один действительный корень. Из графика можно определить лишь его приближенное значение.

Ответ: $x \approx 1.2$.

Есть ли среди корней точные?

Да, среди найденных корней есть точные (целочисленные). Для первого уравнения это корень $x=2$, а для второго — $x=-2$. Корень третьего уравнения не является целым или рациональным числом, поэтому графическим методом его можно найти только приближенно.

Ответ: Да, есть: $x=2$ и $x=-2$.