Номер 332, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 332, страница 117.

332 Найдите подбором корень уравнения и, используя графические соображения, докажите, что других корней нет:

а) $\sqrt{x} = 12 - x$;

б) $x^3 + x + 10 = 0$;

в) $x^2 - \frac{4}{x} + 3 = 0.$

а) $\sqrt{x} = 12 - x$

Сначала найдем корень уравнения подбором. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется двумя условиями: $x \ge 0$ (из-за квадратного корня) и $12 - x \ge 0$ (так как корень не может быть отрицательным), что дает $x \le 12$. Таким образом, мы ищем корень на отрезке $[0, 12]$. Попробуем подставить целые числа, являющиеся полными квадратами, из этого отрезка.
При $x = 9$:
Левая часть: $\sqrt{9} = 3$.
Правая часть: $12 - 9 = 3$.
Поскольку $3 = 3$, то $x = 9$ является корнем уравнения.

Теперь докажем, что других корней нет, используя графические соображения. Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 12 - x$. Корни исходного уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков этих функций.
Функция $y_1 = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.
Функция $y_2 = 12 - x$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $-1$.
Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Поскольку мы уже нашли одну точку пересечения при $x = 9$, то других точек пересечения, а следовательно, и других корней у уравнения нет.

Ответ: $x = 9$.

б) $x^3 + x + 10 = 0$

Найдем корень подбором, проверяя небольшие по модулю целые числа.
При $x = -1$: $(-1)^3 + (-1) + 10 = -1 - 1 + 10 = 8 \ne 0$.
При $x = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$.
Значит, $x = -2$ — корень уравнения.

Для доказательства единственности корня представим уравнение в виде $x^3 = -x - 10$. Рассмотрим две функции: $y_1 = x^3$ и $y_2 = -x - 10$.
Функция $y_1 = x^3$ (кубическая парабола) является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $y_2 = -x - 10$ (прямая) является строго убывающей на всей числовой прямой.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Так как мы нашли корень $x = -2$, соответствующий их точке пересечения, то он является единственным.
Альтернативное доказательство: рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x + 10$. Её производная $f'(x) = 3x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой и, следовательно, может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза.

Ответ: $x = -2$.

в) $x^2 - \frac{4}{x} + 3 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ne 0$. Преобразуем уравнение к виду, удобному для графической интерпретации: $x^2 + 3 = \frac{4}{x}$.
Найдем корень подбором. Проверим целые делители числа 4.
При $x = 1$:
Левая часть: $1^2 + 3 = 4$.
Правая часть: $\frac{4}{1} = 4$.
Так как $4 = 4$, то $x = 1$ является корнем уравнения.

Докажем, что других корней нет. Рассмотрим графики функций $y_1 = x^2 + 3$ и $y_2 = \frac{4}{x}$. Корни уравнения — это абсциссы точек их пересечения. Проанализируем поведение функций на двух промежутках: $x > 0$ и $x < 0$.
1. При $x > 0$:
Функция $y_1 = x^2 + 3$ (правая ветвь параболы) является строго возрастающей.
Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ (правая ветвь гиперболы) является строго убывающей.
Возрастающая и убывающая функции на этом промежутке могут пересечься не более одного раза. Мы уже нашли точку пересечения при $x = 1$, значит, это единственный корень на промежутке $(0, +\infty)$.
2. При $x < 0$:
Функция $y_1 = x^2 + 3$ принимает только положительные значения (поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 3 \ge 3$).
Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ при $x < 0$ принимает только отрицательные значения.
Поскольку положительное число не может равняться отрицательному, на промежутке $(-\infty, 0)$ у уравнения нет корней.
Следовательно, $x = 1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 1$.