Номер 334, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 334, страница 117.

334 Используя схематические графики, определите, сколько корней имеет уравнение; укажите два последовательных целых числа, между которыми находятся корни уравнения:

a) $\sqrt{x} = x - 500$;

б) $\sqrt{x} = 100 - x^2$.

а) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x - 500$ рассмотрим графики функций $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = x - 500$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков. График $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и возрастающая на всей области определения $x \ge 0$. График $y_2 = x - 500$ — это прямая, которая растет быстрее, чем $y_1 = \sqrt{x}$ для достаточно больших $x$. При $x=500$, значение функции $y_1 = \sqrt{500} \approx 22.4$, а значение функции $y_2 = 500 - 500 = 0$. То есть, в этой точке график $y_1$ находится выше графика $y_2$. Поскольку прямая $y_2$ растет быстрее, чем кривая $y_1$ (для $x > 1/4$), она в итоге пересечет график $y_1$. Так как $y_1$ — вогнутая функция, а $y_2$ — прямая, они могут пересечься только один раз. Следовательно, уравнение имеет один корень. Для нахождения интервала, содержащего корень, будем подставлять целые числа и сравнивать значения левой и правой частей уравнения. Проверим $x=522$: левая часть равна $\sqrt{522}$, правая часть равна $522 - 500 = 22$. Так как $22^2 = 484$, то $\sqrt{522} > \sqrt{484}$, следовательно $\sqrt{522} > 22$. Проверим $x=523$: левая часть равна $\sqrt{523}$, правая часть равна $523 - 500 = 23$. Так как $23^2 = 529$, то $\sqrt{523} < \sqrt{529}$, следовательно $\sqrt{523} < 23$. При $x=522$ выполняется неравенство $\sqrt{x} > x - 500$, а при $x=523$ — неравенство $\sqrt{x} < x - 500$. Это означает, что корень уравнения находится между числами 522 и 523.

Ответ: уравнение имеет один корень; корень находится между числами 522 и 523.

б) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 100 - x^2$ рассмотрим графики функций $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 100 - x^2$. Область определения уравнения находится из условий: $x \ge 0$ (из-за $\sqrt{x}$) и $100 - x^2 \ge 0$ (так как $\sqrt{x} \ge 0$). Второе неравенство дает $x^2 \le 100$, что с учетом первого условия означает $0 \le x \le 10$. На отрезке $[0, 10]$ функция $y_1 = \sqrt{x}$ является непрерывной и возрастающей (ее значения меняются от 0 до $\sqrt{10}$). На этом же отрезке функция $y_2 = 100 - x^2$ (часть параболы с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 100)$) является непрерывной и убывающей (ее значения меняются от 100 до 0). Сравним значения функций на концах отрезка: При $x=0$: $y_1(0) = \sqrt{0} = 0$, $y_2(0) = 100 - 0^2 = 100$. Здесь $y_1 < y_2$. При $x=10$: $y_1(10) = \sqrt{10}$, $y_2(10) = 100 - 10^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$. Поскольку на отрезке $[0, 10]$ одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает, и на концах отрезка их значения меняют свое взаимное расположение ($y_1 < y_2$ в начале и $y_1 > y_2$ в конце), графики этих функций пересекаются ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет один корень. Для нахождения интервала, содержащего корень, будем подставлять целые числа из отрезка $[0, 10]$. Проверим $x=9$: левая часть $\sqrt{9} = 3$, правая часть $100 - 9^2 = 100 - 81 = 19$. Здесь $3 < 19$, то есть $\sqrt{x} < 100-x^2$. Проверим $x=10$: левая часть $\sqrt{10}$, правая часть $100 - 10^2 = 0$. Здесь $\sqrt{10} > 0$, то есть $\sqrt{x} > 100-x^2$. Поскольку при переходе от $x=9$ к $x=10$ знак разности $\sqrt{x} - (100-x^2)$ меняется, корень уравнения находится между числами 9 и 10.

Ответ: уравнение имеет один корень; корень находится между числами 9 и 10.