Номер 337, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 337, страница 117.

337 Как начинается десятичная запись положительного корня уравнения $\sqrt{x} = 0,5x^2$?

(Найдите два знака после запятой.)

1. Решение уравнения

Дано уравнение $\sqrt{x} = 0,5x^2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Очевидно, что $x=0$ является корнем уравнения: $\sqrt{0} = 0,5 \cdot 0^2 \implies 0 = 0$.

Для нахождения положительного корня ($x > 0$), возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,5x^2)^2$

$x = 0,25x^4$

Перенесем все слагаемые в одну часть и вынесем $x$ за скобки:

$0,25x^4 - x = 0$

$x(0,25x^3 - 1) = 0$

Отсюда получаем два случая: $x=0$ (тривиальный корень) или $0,25x^3 - 1 = 0$.

Решим второе уравнение для нахождения положительного корня:

$0,25x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{0,25}$

$x^3 = 4$

Следовательно, положительный корень уравнения равен $x = \sqrt[3]{4}$.

2. Нахождение десятичной записи корня

Теперь необходимо найти, как начинается десятичная запись числа $\sqrt[3]{4}$, а именно, найти первые две цифры после запятой. Для этого будем подбирать значения.

Сначала оценим целую часть корня:

$1^3 = 1$

$2^3 = 8$

Так как $1 < 4 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{4} < 2$. Целая часть корня равна 1.

Теперь найдем первую цифру после запятой:

$1,5^3 = 3,375$ (меньше 4)

$1,6^3 = 4,096$ (больше 4)

Так как $1,5^3 < 4 < 1,6^3$, то $1,5 < \sqrt[3]{4} < 1,6$. Первая цифра после запятой равна 5.

Найдем вторую цифру после запятой. Корень находится между 1,5 и 1,6. Проверим значения, возводя их в куб:

$1,58^3 = 1,58 \cdot 1,58 \cdot 1,58 = 3,944312$ (меньше 4)

$1,59^3 = 1,59 \cdot 1,59 \cdot 1,59 = 4,019679$ (больше 4)

Так как $1,58^3 < 4 < 1,59^3$, мы можем заключить, что $1,58 < \sqrt[3]{4} < 1,59$.

Это означает, что десятичная запись положительного корня уравнения начинается как 1,58...

Ответ: 1,58.