Номер 330, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 330, страница 117.

330 Выясните, сколько корней имеет уравнение; для каждого корня укажите два последовательных целых числа, между которыми он находится:

а) $ \frac{1}{x} = x^2 - 4; $

б) $ x^3 - x - 9 = 0. $

Рис. 3.23

а) Чтобы определить количество корней уравнения $\frac{1}{x} = x^2 - 4$, рассмотрим графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = x^2 - 4$. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -4)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в трех точках: две точки при $x < 0$ и одна точка при $x > 0$. Следовательно, уравнение имеет три корня.

Для нахождения промежутков, которым принадлежат корни, рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 4 - \frac{1}{x}$. Корень уравнения — это значение $x$, при котором $f(x) = 0$. Будем искать отрезки, на концах которых функция $f(x)$ принимает значения разных знаков.

• Найдем первый корень. Проверим значения функции на концах промежутка $[-2, -1]$:
  $f(-2) = (-2)^2 - 4 - \frac{1}{-2} = 4 - 4 + 0.5 = 0.5 > 0$
  $f(-1) = (-1)^2 - 4 - \frac{1}{-1} = 1 - 4 + 1 = -2 < 0$
  Так как $f(-2) > 0$ и $f(-1) < 0$, первый корень находится между числами -2 и -1.
• Найдем второй корень. Проверим значения функции на концах промежутка $[-1, 0)$. Мы уже знаем, что $f(-1) = -2 < 0$. Рассмотрим значение функции при $x$, близком к нулю слева, например $x = -0.1$:
  $f(-0.1) = (-0.1)^2 - 4 - \frac{1}{-0.1} = 0.01 - 4 + 10 = 6.01 > 0$
  Так как $f(-1) < 0$ и $f(-0.1) > 0$, второй корень находится между числами -1 и 0.
• Найдем третий корень. Проверим значения функции на концах промежутка $[2, 3]$:
  $f(2) = 2^2 - 4 - \frac{1}{2} = 4 - 4 - 0.5 = -0.5 < 0$
  $f(3) = 3^2 - 4 - \frac{1}{3} = 9 - 4 - \frac{1}{3} = 4\frac{2}{3} > 0$
  Так как $f(2) < 0$ и $f(3) > 0$, третий корень находится между числами 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 3 корня; первый корень находится между -2 и -1, второй — между -1 и 0, третий — между 2 и 3.

б) Рассмотрим уравнение $x^3 - x - 9 = 0$. Для определения количества корней исследуем функцию $f(x) = x^3 - x - 9$ с помощью производной.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - x - 9)' = 3x^2 - 1$.

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

• Точка локального максимума при $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:
  $f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) - 9 = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - 9 = \frac{2}{3\sqrt{3}} - 9$. Так как $\frac{2}{3\sqrt{3}} < 1$, то значение функции отрицательно.
• Точка локального минимума при $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
  $f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} - 9 = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - 9 = -\frac{2}{3\sqrt{3}} - 9$. Это значение также отрицательно.

Поскольку оба экстремума (и локальный максимум, и локальный минимум) функции отрицательны, а при $x \to +\infty$ функция $f(x) \to +\infty$, график функции пересекает ось абсцисс только один раз. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень.

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится этот корень, вычислим значения функции $f(x)$ в целых точках:

$f(2) = 2^3 - 2 - 9 = 8 - 2 - 9 = -3 < 0$

$f(3) = 3^3 - 3 - 9 = 27 - 3 - 9 = 15 > 0$

Так как на концах отрезка $[2, 3]$ функция принимает значения разных знаков ($f(2) < 0$ и $f(3) > 0$), единственный корень уравнения находится между числами 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 1 корень; корень находится между 2 и 3.