Номер 325, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 325, страница 116.

325 Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке (4; 2).

Сделайте схематический чертёж, иллюстрирующий этот факт.

Назовите:

1) решение системы уравнений $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 2x - 6; \end{cases} $

2) корень уравнения $ \sqrt{x} = 2x - 6. $

В задаче даны две функции, $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$, и сказано, что их графики пересекаются в точке $(4; 2)$.

Сначала сделаем схематический чертёж. Для этого нам нужно понимать, как выглядят графики обеих функций.

• График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0; 0)$ и идущая вправо и вверх. Она проходит через точки, где $x$ является полным квадратом, например: $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.
• График функции $y = 2x - 6$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x=3$, то $y=2(3)-6=0$, получаем точку $(3; 0)$. Если $x=5$, то $y=2(5)-6=4$, получаем точку $(5; 4)$.

Проверим, действительно ли точка $(4; 2)$ является точкой пересечения:

• Подставим в первое уравнение: $2 = \sqrt{4}$, что является верным равенством ($2=2$).
• Подставим во второе уравнение: $2 = 2(4) - 6$, что также является верным равенством ($2 = 8 - 6 \Rightarrow 2=2$).

Точка $(4; 2)$ принадлежит обоим графикам, следовательно, она является их точкой пересечения.

Схематический чертёж, иллюстрирующий этот факт:

Теперь ответим на вопросы, основываясь на этой информации.

1) решение системы уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 2x - 6; \end{cases}$

Решением системы уравнений называется пара чисел $(x; y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям системы. Геометрически, решение системы — это координаты точки пересечения графиков уравнений.
Как указано в условии и показано на графике, точка пересечения имеет координаты $(4; 2)$. Это означает, что при $x = 4$ и $y = 2$ оба равенства в системе становятся верными.
Ответ: $(4; 2)$.

2) корень уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором равенство является верным.
Данное уравнение получается, если приравнять правые части уравнений системы $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$. Следовательно, корень этого уравнения — это абсцисса (координата $x$) точки пересечения графиков этих функций.
Поскольку точка пересечения — это $(4; 2)$, то её абсцисса равна 4. Таким образом, $x=4$ является корнем уравнения.
Выполним проверку, подставив $x=4$ в уравнение:
$\sqrt{4} = 2(4) - 6$
$2 = 8 - 6$
$2 = 2$
Равенство верное, что подтверждает наш вывод.
Ответ: 4.